线性方程组与向量组其实是一回事
我们来看一般的非齐次线性方程组，aij就是系数
\begin{align}\left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1}, \\a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\\cdots \cdots \\a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m}\end{array}\right.\end{align}
下面就是该方程组的系数矩阵，Am×n其中m表示所给方程的个数而n表示未知数的个数
\begin{align}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right]\end{align}
下面方程由若干个列向量拼成的，且其增广矩阵
\begin{align}\left[\begin{array}{cccc:c}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_{1} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_{m}\end{array}\right]\end{align}
而如果我们把最开始的非齐次线性方程组整理成向量组，就可以得到
\begin{align}x_{1}\left(\begin{array}{c}a_{11} \\a_{21} \\\vdots \\a_{m 1}\end{array}\right)+x_{2}\left(\begin{array}{c}a_{12} \\a_{22} \\\vdots \\a_{m 2}\end{array}\right)+\cdots+x_{n}\left(\begin{array}{c}a_{1 n} \\a_{2 n} \\\vdots \\a_{m n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\b_{2} \\\vdots \\b_{m}\end{array}\right)\end{align}
而把向量组⎝⎜⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1⎠⎟⎟⎟⎟⎞看成$\alpha $，那么就可以化简就可以得到
\begin{align}x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+\cdots +x_{n}\alpha_{n}=\beta\end{align}
齐次方程
方程组，后面用（I）来表示，称为m个方程，n个未知量的齐次线性方程组
\begin{align}\left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\\cdots \cdots \\a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=0\end{array}\right.\end{align}
其向量形式为
\begin{align}x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n}=\mathbf{0}\end{align}
其中
\begin{align}\boldsymbol{\alpha}_{j}=\left[\begin{array}{c}a_{1 j} \\a_{2 j} \\\vdots \\a_{m j}\end{array}\right], j=1,2, \cdots, n\end{align}
其矩阵形式为
\begin{align}\boldsymbol{A}_{m \times n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}\end{align}
其中
\begin{align}\boldsymbol{A}_{m \times n}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right], \quad \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\x_{2} \\\vdots \\x_{n}\end{array}\right]\end{align}
有解的条件
当r(A)=n时（α1,α2,⋯,αn线性无关），方程组（I）有唯一零解
当r(A)=r<n时（α1,α2,⋯,αn线性相关），方程组（I）有非零解，且有n−r个线性无关解
解的性质
若Aξ1=0,Aξ2=0，则A(k1ξ1+k2ξ2)=0，其中k1,k2是任意常数
基础解系和解的结构
基础解系
设ξ1,ξ2,⋯,ξn−r满足
- 是方程组Ax=0的解
- 线性无关
- 方程组Ax=0的任一解均可由ξ1,ξ2,⋯,ξn−r线性表出，则称ξ1,ξ2,⋯,ξn−r为Ax=0的基础解系
通解
设ξ1,ξ2,⋯,ξn−r是Ax=0的基础解系，则k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r是方程组Ax=0的通解，其中k1,k2,⋯,kn−r是任意常数
求解方法与步骤
注意只能进行行变换
将系数矩阵A作初等行变换化成阶梯形矩阵B（或最简阶梯形矩阵B），初等行变换将方程组化为同解方程组，故Ax=0和Bx=0同解，只需解Bx=0即可。设r(A)=r
\begin{align}\boldsymbol{A} \xrightarrow{\text { 初等行变换 }} \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccccc}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 r} & \cdots & c_{1 n} \\0 & c_{22} & \cdots & c_{2 r} & \cdots & c_{2 n} \\\vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\0 & 0 & \cdots & c_{r r} & \cdots & c_{r n} \\0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0\end{array}\right]_{m \times n}\end{align}
其中，m是原方程组中方程个数，n是末知量个数
按列找出一个秩为r的子矩阵，剩余列位置的末知数设为自由变量
按基础解系定义求出ξ1,ξ2,⋯,ξn−r，并写出通解
例题
求齐次线性方程组的通解
\begin{align}\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}-3 x_{4}-x_{5}=0, \\x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-x_{4}=0, \\4 x_{1}-2 x_{2}+6 x_{3}+3 x_{4}-4 x_{5}=0, \\2 x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}+4 x_{4}-7 x_{5}=0\end{array}\right.\end{align}
解：将系数矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵
()括号里面的运算表示行变换
\begin{align}\begin{array}{l}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\1 & -1 & 2 & -1 & 0 \\4 & -2 & 6 & 3 & -4 \\2 & 4 & -2 & 4 & -7\end{array}\right] \\\xrightarrow[\text { (4) }-2(1)]{\substack{(2)-(1) \\(3)-4(1)}}\left[\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\0 & -6 & 6 & 15 & 0 \\0 & 2 & -2 & 10 & -5\end{array}\right] \\\xrightarrow[\text { (4) }+ \text { (2) }]{\text { (3) }-3(2)}\left[\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\0 & 0 & 0 & 9 & -3 \\0 & 0 & 0 & 12 & -4\end{array}\right] \\\xrightarrow[\frac{1}{3}(3)]{\text { (4) }-\frac{4}{3}(3)}\left[\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]=\boldsymbol{B}\\\end{array}\end{align}
行阶梯型进阶
B为行阶梯型
- 若有0行，全在下方
- 从行上看，自左边起出现连续0的个数自上而下严格单增
然后这边还能化成行最简阶梯型
\begin{align}\begin{aligned}\boldsymbol{B} & =\left[\begin{array}{rrrrr}1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\0 & -2 & 2 & 2 & 1 \\0 & 0 & 0 & 3 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \xrightarrow[\frac{1}{3}(3)]{-\frac{1}{2}(2)}\left[\begin{array}{rrrrrr}1 & 1 & 0 & -3 & -1 \\0 & 1 & -1 & -1 & -\frac{1}{2} \\0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \\& \xrightarrow{(1)-(2)}\left[\begin{array}{rrrrr}1 & 0 & 1 & -2 & -\frac{1}{2} \\0 & 1 & -1 & -1 & -\frac{1}{2} \\0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \xrightarrow{(1)+2(3)}\left[\begin{array}{lllll}1 & 0 & 1 & 0 & -\frac{7}{6} \\0 & 1 & -1 & 0 & -\frac{5}{6} \\0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{1}{3} \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]=\boldsymbol{C}\end{aligned}\end{align}
行最简阶梯型（包含行阶梯型的所有要求）
- 台脚（以C来看，第二行第三行都是台脚）位置元素都是1
- 台脚正上方元素都为0
则Ax=0和Bx=0是同解方程组，且r(A)=r(B)=3
按列找出一个秩为3的子矩阵，可取第一、二、四列，则剩余第三、五列位置的元素x3,x5即设为自由末知量，我们求通解
方法一：
取自由未知量x3=k1,x5=3k2，代人方程得
\begin{align}\begin{array}{l}x_{4}=k_{2}, \\x_{2}=x_{3}+x_{4}+\frac{1}{2} x_{5}=k_{1}+\frac{5}{2} k_{2}, \\x_{1}=-x_{2}+3 x_{4}+x_{5}=-k_{1}+\frac{7}{2} k_{2} .\end{array}\end{align}
由此得通解
\begin{align}\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2} \\x_{3} \\x_{4} \\x_{5}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-k_{1}+\frac{7}{2} k_{2} \\k_{1}+\frac{5}{2} k_{2} \\k_{1}+0 \\0+k_{2} \\0+3 k_{2}\end{array}\right]=k_{1}\left[\begin{array}{c}-1 \\1 \\1 \\0 \\0\end{array}\right]+k_{2}\left[\begin{array}{c}\frac{7}{2} \\\frac{5}{2} \\0 \\1 \\3\end{array}\right]\end{align}
其中k1,k2是任意常数
方法二：
\begin{align}\boldsymbol{\xi}_{1}=(h_1,h_2,h_3,h_4,h_5)^\mathrm{T}\\\boldsymbol{\xi}_{2}=(l_1,l_2,l_3,l_4,l_5)^\mathrm{T}\end{align}
中ξ1和ξ2要线性无关，那么我们可以先把剩余第三、五列位置的元素x3,x5设为1、0和0、1，然后把B的每一行（至下而上）与ξ1（之后而前）相乘使其等于0，然后在把B的每一行（至下而上）与ξ2（之后而前）相乘使其等于0，我们就可以得到
\begin{align}\boldsymbol{\xi}_{1}=(1,1,1,0,0)^\mathrm{T}\\\boldsymbol{\xi}_{2}=(\frac{7 }{2},\frac{5 }{2},0,1,3)^\mathrm{T}\end{align}
所以k1ξ1+k2ξ2是通解
非齐次线性方程组
方程组，后面用（II）来表示，称为m个方程，n个未知量的非齐次线性方程组
\begin{align}\left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1}, \\a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\\cdots \cdots \\a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m}\end{array}\right.\end{align}
其向量形式为x1α1+x2α2+⋯+xnαn=b，其中
\begin{align}\boldsymbol{\alpha}_{j}=\left[\begin{array}{c}a_{1 j} \\a_{2 j} \\\vdots \\a_{m j}\end{array}\right], j=1,2, \cdots, n, \quad \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{c}b_{1} \\b_{2} \\\vdots \\b_{m}\end{array}\right]\end{align}
其矩阵形式为Ax=b，其中
\begin{align}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right], \quad \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\x_{2} \\\vdots \\x_{n}\end{array}\right]\end{align}
矩阵⎣⎢⎢⎢⎢⎡a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amnb1b2⋮bm⎦⎥⎥⎥⎥⎤称为矩阵A的增广矩阵，简记成[Ab]
有解的条件
若r(A)=r([A,b])（b不能由α1,α2,⋯,αn线性表出），则方程组（II）无解
若r(A)=r([A,b])=n（即α1,α2,⋯,αn线性无关，α1,α2,⋯,αn,b线性相关），则方程组（II）有唯一解
若r(A)=r([A,b])=r<n，则方程组（II）有无穷多解
解的性质
设η1,η2,η是非齐次线性方程组Ax=b的解，ξ是对应齐次线性方程组Ax=0的解，则 :
- η1−η2是Ax=0的解
- kξ+η是Ax=b的解
求解方法与步骤
注意只能进行行变换
将增广矩阵作初等行变换化成阶梯形（或最简阶梯形）矩阵，求出对应齐次线性方程组的通解，再加上一个非齐次线性方程组的特解即是非齐次线性方程组的通解
- 写出Ax=b的导出方程组Ax=0，并求Ax=0的通解k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−ξn−r
- 求出Ax=b的一个特解η
- 则Ax=b的通解为k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r+η，其中k1,k2,⋯,kn−r为任意常数
例题
求解非齐次线性方程组，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解
\begin{align}\left\{\begin{array}{l}x_{1}+5 x_{2}-x_{3}-x_{4}=-1, \\x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=3, \\3 x_{1}+8 x_{2}-x_{3}+x_{4}=1, \\x_{1}-9 x_{2}+3 x_{3}+7 x_{4}=7\end{array}\right.\end{align}
()括号里面的运算表示行变换
解：对增广矩阵作初等行变换化成阶梯形矩阵
\begin{align}\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l:l}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc:c}1 & 5 & -1 & -1 & -1 \\1 & -2 & 1 & 3 & 3 \\3 & 8 & -1 & 1 & 1 \\1 & -9 & 3 & 7 & 7\end{array}\right] \xrightarrow[(4)-(1)]{\substack{(2)-(1) \\(3)-3(1)}}\left[\begin{array}{cccc:c}1 & 5 & -1 & -1 & -1 \\0 & -7 & 2 & 4 & 4 \\0 & -7 & 2 & 4 & 4 \\0 & -14 & 4 & 8 & 8\end{array}\right]\\\xrightarrow[(4)-2(2)]{(3)-(2)}\left[\begin{array}{cccc:c}1 & 5 & -1 & -1 & -1 \\0 & -7 & 2 & 4 & 4 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\\\end{array}\end{align}
解的条件：
方法一：
令自由未知量x3=k1,x4=k2，代人得
\begin{align}\begin{array}{c}x_{2}=-\frac{1}{7}\left(4-2 k_{1}-4 k_{2}\right)=-\frac{4}{7}+\frac{2}{7} k_{1}+\frac{4}{7} k_{2}, \\x_{1}=-1+k_{1}+k_{2}-5\left(-\frac{4}{7}+\frac{2}{7} k_{1}+\frac{4}{7} k_{2}\right)=\frac{13}{7}-\frac{3}{7} k_{1}-\frac{13}{7} k_{2}\end{array}\end{align}
得通解为
\begin{align}\left[\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2} \\x_{3} \\x_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{13}{7}-\frac{3}{7} k_{1}-\frac{13}{7} k_{2} \\-\frac{4}{7}+\frac{2}{7} k_{1}+\frac{4}{7} k_{2} \\k_{1} \\k_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{13}{7} \\-\frac{4}{7} \\0 \\0\end{array}\right]+k_{1}\left[\begin{array}{c}-\frac{3}{7} \\\frac{2}{7} \\1 \\0\end{array}\right]+k_{2}\left[\begin{array}{c}-\frac{13}{7} \\\frac{4}{7} \\0 \\1\end{array}\right]\end{align}
其中k1,k2是任意常数，[−73,72,1,0]T,[−713,74,0,1]T为对应的齐次线性方程组的基础解系
方法二：
得出通解为：
\begin{align}\boldsymbol{\xi}_{1}=(-3,2,7,0)^\mathrm{T}\\\boldsymbol{\xi}_{2}=(-13,4,0,7)^\mathrm{T}\end{align}
接下来求齐次方程的特解，凡是自由项的位置统统为0，然后需要带进去求解：
(0∗4)+(0∗2)+(−7∗u1)=4求的u1=−74
(0∗−1)+(0∗−1)+(5∗u1)+(1∗u2)=−1，我们直接把u1=−74代入方程，可以求得u2=713，就可以得出非齐次方程的特解为：
\begin{align}\eta =(\frac{13}{7},-\frac{4}{7},0 ,0)^\mathrm{T}\end{align}
所以k1ξ1+k2ξ2+η是通解
已知线性方程组
\begin{align}\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1, \\3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}=a, \\x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}=3, \\5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4}=b \end{array}\right.\end{align}
则a,b为何值时，方程组无解？a,b为何值时，方程组有解？方程组有解时，求其全部解
解：对方程组的增广矩阵[Ab]作初等行变换
\begin{align}\begin{aligned}{\left[\begin{array}{l:l}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b}\end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{llll:l}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\3 & 2 & 1 & 1 & a \\0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\5 & 4 & 3 & 4 & b\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cccc:c}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\0 & -1 & -2 & -2 & a-3 \\0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\0 & -1 & -2 & -1 & b-5\end{array}\right] \\& \longrightarrow\left[\begin{array}{llll:c}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\0 & 0 & 0 & 0 & a \\0 & 0 & 0 & 1 & b-2\end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc:c}1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\0 & 0 & 0 & 1 & b-2 \\0 & 0 & 0 & 0 & a\end{array}\right] \\& \longrightarrow\left[\begin{array}{cccc:c}1 & 0 & -1 & -1 & -2 \\0 & 1 & 2 & 2 & 3 \\0 & 0 & 0 & 1 & b-2 \\0 & 0 & 0 & 0 & a\end{array}\right] .\end{aligned}\end{align}
当a=0,b任意时，r(A)=3=r([A,b])=4，方程组无解
当a=0,b任意时，r(A)=3=r([A,b])<4，方程组有无穷多解
后面通解懒得写了，解法一样的
]]>
