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极限

微商（即导数）是一种极限。定积分也是一种极限。

关于这一节推荐观看下面视频，讲的是非常的好

符号解释

ε\varepsilon和δ\delta都表示一个非常小的数，意义是一样的，只是为了让看起来显示不一样

∀\forall取任意一个值

直观介绍

《庄子》曰：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”假设有一尺长的线段，每天划去一半，那么它的长度会变得如何呢？如果我们查看特定的某一天，比如说第7天，那么线段的长度还剩1128\frac{1}{128}尺。但我们想知道的是，线段的长度“最终”会怎么样？用数学的语言来说，就是以下的数列：

\begin{align} a_{0} = 1, \quad a_{1} = \frac{1}{2}, \quad a_{2} = \frac{1}{4}, \cdots, a_{n} = \frac{1}{2^{n}}, \cdots \end{align}

在nn"非常大"的时候会有什么性质？为此我们可以建立以下的表格看看nn"非常大"的时候，ana_n会是什么样子：

nn 1 5 20 100 500 10000
ana_n 0.5 0.03125 9.54×10−79.54 \times 10^{-7} 1.27×10−301.27 \times 10^{-30} 3.27×10−1503.27 \times 10^{-150} 2×10−30102 \times 10^{-3010}

可以看出，nn越大，ana_n就越接近0；当nn很大，比如说n=10000n=10000的时候，ana_n与0的差别只有2×10−30102 \times 10^{-3010}了。这时候，我们就称：数列ana_n的极限是0，并记作：

\begin{align} \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} & = 0 \end{align}

它表示只要nn足够大，ana_n就会足够接近0"这样一个性质。

另一个例子：设函数ff为f(x)=x2f(x)=x^2，我们来关注它在2附近的取值情况。下表显示出当自变量xx靠近2的时候，f(x)f(x)的值有何特性：

xx 1.7 1.8 1.9 1.95 1.99 1.999
f(x)=x2f(x)=x^2 2.89 3.24 3.61 3.8025 3.9601 3.996001

表中取的xx值都是小于2的。也可以取大于2的xx值，见下表：

xx 2.3 2.2 2.1 2.05 2.01 2.001
f(x)=x2f(x)=x^2 5.29 4.84 4.41 4.2025 4.0401 4.004001

从以上两个表格中，可以看出，当xx越来越靠近2的时候，不论是比2大还是比2小，f(x)f(x)的值都会越来越靠近4。我们把这个性质称为：函数f(x)f(x)当xx趋于2的时候的极限是4，并记作：

\begin{align} \lim _{x \rightarrow 2} x^2 & = 4 \end{align}

极限可以用来描述某个变化的趋势，但不是所有的趋势都可以用极限描述。

设函数gg为g(x)=sin⁡(1x−2)g(x)=\sin(\frac{1}{x-2})，当自变量xx靠近2的时候，g(x)g(x)的值变化如下表：

xx 1.7 1.8 1.9 1.95 1.99 1.999
g(x)=sin⁡(1x−2)g(x)=\sin(\frac{1}{x-2}) 0.191 0.959 0.544 -0.913 0.506 -0.827

大于2的xx的值靠近2时

xx 2.3 2.2 2.1 2.05 2.01 2.0014
g(x)=sin⁡(1x−2)g(x)=\sin(\frac{1}{x-2}) -0.191 -0.959 -0.544 0.913 -0.506 0.827

xx的值靠近2时，g(x)g(x)的值并不接近任何一个特定的数值。这时候，我们称函数在g(x)g(x)在xx趋于2时没有极限。

数列的极限

定义

设{xn}n=1∞\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }是一个给定的实数数列。AA是一个给定的实数。如果对任意的正实数ε{\displaystyle \varepsilon }，都存在一个自然数NN，使得对任意的自然数nn，只要n⩾Nn\geqslant N，就有∣xn−A∣<ε{\displaystyle \vert x_{n}-A\vert <\varepsilon}那么就称AA是数列{xn}n=1∞\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }的极限，记为lim⁡n→∞xn=A\lim _{n \rightarrow \infty }x_{n}=A。反之则称AA不是数列{xn}n=1∞\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }的极限。

数列极限的表示方法是：

\begin{align}\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \end{align}

∀ε>0\forall \varepsilon>0,存在正整数 NN,当n⩾Nn \geqslant N时,就有∣xn−A∣<ε\left|x_{n}-A\right|<\varepsilon。

函数的极限

自变量趋于有限值时函数的极限

函数不考虑x=x0x=x_0的情况，所以是一个取心领域

\begin{align}\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A\end{align}

∀ε>0\forall \varepsilon>0,存在正数δ\delta,当0<∣x−x0∣<δ0<\left|x-x_{0}\right|<\delta时,就有∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon。

证明：lim⁡x→1(2x−1)=1\lim_{x \to 1 }(2x-1) = 1

根据定义我们需要找出δ\delta。首先我们给定∀ε\forall \varepsilon都会有∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon，把极限代入进去∣(2x−1)−1∣=∣2x−2∣=2∣x−1∣<ε|(2x-1)-1|=|2x-2|=2|x-1|< \varepsilon，所以∣x−1∣<ε2|x-1|<\frac{\varepsilon}{2}，这样我们就找到了δ\delta的值为ε2\frac{\varepsilon}{2}。接下来我们可以写证明了

给定任意一个ε\varepsilon，取δ=ε2\delta=\frac{\varepsilon}{2}，当0<∣x−1∣<δ0<|x-1|<\delta

\begin{align} |f(x)-A| &=|(2x-1)-1| =|2x-2|\\ &=2|x-1|< 2 \cdot \delta\\&=2 \cdot \frac{\varepsilon}{2}\\&=\varepsilon \\& \therefore \lim_{x \to 1 }(2x-1) = 1 \end{align}

证明：lim⁡x→1x2−1x−1=2\lim_{x \to 1 }\frac{x^2-1}{x-1} = 2

根据定义我们需要找出δ\delta。首先我们给定∀ε\forall \varepsilon都会有∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon，把极限代入进去∣x2−1x−1−2∣=∣(x+1)(x−1)x−1−2∣=∣x−1∣<ε|\frac{x^2-1}{x-1}-2|=|\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}-2|=|x-1|< \varepsilon，所以∣x−1∣<ε|x-1|<\varepsilon，这样我们就找到了δ\delta的值为ε\varepsilon。接下来我们可以写证明了

给定任意一个ε\varepsilon，取δ=ε\delta=\varepsilon，当0<∣x−1∣<δ0<|x-1|<\delta

\begin{align} |f(x)-A| & =|\frac{x^2-1}{x-1}-2| \\ &=|x-1|< \delta\\&=\varepsilon \\& \therefore \lim_{x \to 1 }\frac{x^2-1}{x-1} = 2 \end{align}

自变量趋于无穷大时函数的极限

\begin{align} \lim_{x \to \infty }f(x) & = A \end{align}

∀ε\forall \varepsilon 存在正数XX，当∣x∣>X|x|>X时，就有∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon

证明：lim⁡x→∞1x=A\lim_{x \to \infty }\frac{1}{x} = A

根据定义我们需要找出XX。首先我们给定∀ε\forall \varepsilon都会有∣f(x)−A∣|f(x)-A|，把极限代入进去∣1x−0∣=∣1x∣<ε|\frac{1}{x}-0|=|\frac{1}{x}|<\varepsilon，所以∣x∣>1ε|x|>\frac{1}{\varepsilon}，这样我们就找到XX是为1ε\frac{1}{\varepsilon}。接下来我们可以写证明了

给定任意一个ε\varepsilon，取X=1εX=\frac{1}{\varepsilon}，当∣x∣>X|x|>X

\begin{align} |f(x)-A| &=|\frac{1}{x}-0|\\&=|\frac{1}{x}|<\varepsilon \\ &\therefore \lim_{x \to \infty }f(x) = A \end{align}

左右极限

从左边接近于x0x_0就表示为左极限，从右边接近x0x_0就表示右极限

\begin{align} \lim_{x \to x^-_0}f(x) & = A \end{align}

左极限：∀ε\forall \varepsilon 存在正数δ\delta，当x0<x<x0+δx_0 < x <x_0 + \delta时，就有∣f(x)−A∣<ε|f(x)-A|<\varepsilon

\begin{align} \lim_{x \to x^+_0}f(x) = A \end{align}

如果函数要有极限那么它的充分必要条件是同时有左极限和右极限，并且左右极限相等

\begin{align} \lim_{x \to x_0}f(x) = A \Leftrightarrow \lim_{x \to x^-_0}f(x) = \lim_{x \to x^+_0}f(x)=A \end{align}

极限的分支

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导数

如果函数y=f(x)y=f(x)在开区间内每一点都可导，就称函数y=f(x)y=f(x)在区间内可导。这时函数y=f(x)y=f(x)对于区间内的每一个确定的xx值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f(x)y=f(x)的导函数，记作y′y^{\prime}、f′(x)f^{\prime}(x)、 dy dx\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}或 df(x) dx\frac{\mathrm{~d} f(x)}{\mathrm{~d} x}，简称导数

\begin{align} f^{\prime}(x) & = \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \end{align}

导数的几何意义

导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。如右图所示，设P0P_{0}为曲线上的一个定点，PP为曲线上的一个动点。当PP沿曲线逐渐趋向于点P0P_{0}时，并且割线PP0PP_{0}的极限位置P0TP_{0}T存在，则称P0TP_{0}T为曲线在P0P_{0}处的切线。

若曲线为一函数y=f(x)y=f(x)的图像，那么割线PP0PP_{0}（粉红色）的斜率为:

\begin{align}\tan\varphi=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\end{align}

当P0P_{0}处的切线P0TP_{0}T（熵红色），即PP0PP_{0}的极限位置存在时，此时Δx→0,φ→α\Delta x\rightarrow0,\varphi\rightarrow\alpha，则P0TP_{0}T的斜率tan⁡α\tan\alpha为:

\begin{align}\tan\alpha=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\tan\varphi=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\end{align}

上式与一般定义中的导数定义完全相同,也就是说f′(x0)=tan⁡αf^{\prime}\left(x_{0}\right)=\tan\alpha，因此,导数的几何意义即曲线y=f(x)y=f(x)在点P0(x0,f(x0))P_{0}\left(x_{0},f\left(x_{0}\right)\right)处切线的斜率。

Derivative_-_geometric_meaning

动图的话可以参考下面

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导数的链式法则

加法的求导：可以理解为变化量（率）的叠加，即f′+g′{f}'+{g}'

乘法的求导：可以理解为矩形面积的变化率，将f(x)f(x)和g(x)g(x)看成矩形的边长，导数为(f+ df)(g+ dg) dx\frac{(f + \mathrm{~d} f)(g+\mathrm{~d} g)}{\mathrm{~d} x}，在dx\mathrm{d} x趋近于0时，面积增量为趋近于0时

复合函数的求导：可以理解为变化率的传递。

Chain Rule

求导法则

简单函数

这里将列举14个基本初等函数的导数。

函数 原函数 导函数
常函数 y=Cy = C y′=0y^{\prime} = 0
指数函数 y=axy = a^{x} y′=axln⁡ay^{\prime} = a^{x} \ln a
指数函数 y=exy = e^{x} y′=exy^{\prime} = e^{x}
幂函数 y=xny = x^{n} y′=nxn−1y^{\prime} = n x^{n-1}
对数函数 y=log⁡axy = \log _{a} x y′=1xln⁡ay^{\prime} = \frac{1}{x \ln a}
对数函数 y=ln⁡xy = \ln x y′=1xy^{\prime} = \frac{1}{x}
正弦函数 y=sin⁡xy = \sin x y′=cos⁡xy^{\prime} = \cos x
余弦函数 y=cos⁡xy = \cos x y′=−sin⁡xy^{\prime} = -\sin x
正切函数 y=tan⁡xy = \tan x y′=sec⁡2xy^{\prime} = \sec ^{2} x
余切函数 y=cot⁡xy = \cot x y′=−csc⁡2xy^{\prime} = -\csc ^{2} x
正割函数 y=sec⁡xy = \sec x y′=sec⁡xtan⁡xy^{\prime} = \sec x \tan x
余割函数 y=csc⁡xy = \csc x y′=−csc⁡xcot⁡xy^{\prime} = -\csc x \cot x
反正弦函数 y=arcsin⁡xy = \arcsin x y′=11−x2y^{\prime} = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
反余弦函数 y=arccos⁡xy = \arccos x y′=−11−x2y^{\prime} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
反正切函数 y=arctan⁡xy = \arctan x y′=11+x2y^{\prime} = \frac{1}{1+x^{2}}
反余切函数 y=arccot⁡xy = \operatorname{arccot} x y′=−11+x2y^{\prime} = -\frac{1}{1+x^{2}}
双曲线函数 y=sh⁡xy = \operatorname{sh} x y′=ch⁡xy^{\prime} = \operatorname{ch} x

函数的和、差、积、商的求导法则

和差

\begin{align}(u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime}\end{align}

积

\begin{align}(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime} \end{align}

商

\begin{align}\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} \end{align}

原函数与反函数导数关系

反函数的导数就是原函数导数的倒数

\begin{align} \left[f^{-1}(x)\right]^{\prime} & = \frac{1}{f^{\prime}(y)} =\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{\frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} y}} \end{align}

复合函数

如果u=g(x)u=g(x)在点xx可导,而y=f(u)y=f(u)在点u=g(x)u=g(x)可导，那么复合函数y=f[g(x)]y=f[g(x)]在点xx可导,且其导数为

\begin{align}\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x} & = f^{\prime}(u) \cdot g^{\prime}(x) = \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} u} \cdot \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} x} \end{align}

二阶导数

如果函数的导数f′(x){\displaystyle f'(x)}在x{\displaystyle x}处可导，则称(f′(x))′{\displaystyle (f'(x))'}为x{\displaystyle x}的二阶导数。记做f′′(x){\displaystyle f''(x)}，y′′{\displaystyle y''}，d 2ydx2{\displaystyle {\frac { { \text{d } }^{ 2 } y } { {\text{d} }x^{2} } } } 或d2f(x)dx2{\displaystyle {\frac { {\text{d} }^{2}f(x)}{ {\text{d} }x^{2} } } }。如果函数的二阶导数存在，我们就说这个函数在点x{\displaystyle x}处二阶可导。

高阶导数

定义

在数学中，我们是通过f(x){\displaystyle f(x)} 的n−1{\displaystyle n-1}阶导数（n>1{\displaystyle n>1} ）定义n{\displaystyle n} 阶导数的。如果函数的n−1{\displaystyle n-1} 阶导数在x{\displaystyle x}处可导，则称f(x)n−1{\displaystyle f(x)}{\displaystyle n-1}阶导数的导数为f(x){\displaystyle f(x)} 的n阶导数。记做f(n)(x){\displaystyle f^{(n)}(x)}，dnydxn{\displaystyle {\frac { {\text{d} }^{n}y}{ {\text{d} }x^{n} } } } 或dnf(x)dxn{\displaystyle {\frac { {\text{d} }^{n}f(x) } { {\text{d} }x^{n } } } }。如果函数的n{\displaystyle n}阶导数存在，我们就说这个函数在点x{\displaystyle x} 处n{\displaystyle n}阶可导。

直接求导

常用公式
(eλx)(n)=λneλx\left(e^{\lambda x}\right)^{(n)} = \lambda^{n} e^{\lambda x}
(sin⁡wx)(n)=wnsin⁡(wx+n⋅π2)(\sin w x)^{(n)}=w^{n} \sin \left(w x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right)
(cos⁡wx)(n)=wncos⁡(wx+n⋅π2)(\cos w x)^{(n)}=w^{n} \cos \left(w x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right)
[ln⁡(1+x)](n)=(−1)n−1(n−1)!(1+x)n(x>−1)[\ln (1+x)]^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1) !}{(1+x)^{n}} \quad(x>-1)
(1x+1)(n)=(−1)nn!(x+1)n+1\left(\frac{1}{x+1}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^{n} n !}{(x+1)^{n+1}}
(1ax+b)(n)=(−1)nn!an(ax+b)n+1(a≠0)\left(\frac{1}{a x+b}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^{n} n ! a^{n}}{(a x+b)^{n+1}} \quad(a \neq 0)
(ax)(n)=axln⁡na\left( a^x \right) ^{\left( n \right)}=a^x\ln ^na
(log⁡ax)(n)=(−1)n−1(n−1)!xnln⁡a\left( \log _ax \right) ^{\left( n \right)}=\frac{\left( -1 \right) ^{n-1}\left( n-1 \right) !}{x^n\ln a}

间接法

运算法则
(u±v)(n)=u(n)±v(n)(u \pm v)^{(n)}=u^{(n)} \pm v^{(n)}
(Cu)(n)=Cu(n)(C∈R)(C u)^{(n)}=C u^{(n)} \quad(C \in R)
(uv)(n)=∑k=0nCnku(n−k)v(k)(u v)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} u^{(n-k)} v^{(k)}

隐函数

隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数，比如y=1−x2{\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}是由x2+y2−1=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}确定的函数。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数，也就是通常所说的函数，如y=cos⁡(x){\displaystyle y=\cos(x)}。

其中y=1−x2{\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}是显函数，x2+y2−1=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}是隐函数

隐函数求导

步骤：

  • 把yy变成y(x)y(x)
  • 两边对xx求导
  • 解出y′y^{\prime}

例子:

ey+xy−e=0↪ey(x)+x⋅y(x)−e=0↪ey⋅y′+y+x⋅y′=0↪y′=−yx+ey(x+ey≠0)\mathrm{e}^{y}+x y-\mathrm{e} = 0 \\ \hookrightarrow e^{y(x)}+x \cdot y(x)-e=0 \\ \hookrightarrow e^{y} \cdot y^{\prime}+y+x \cdot y^{\prime}=0 \\ \hookrightarrow y^{\prime}=-\frac{y}{x+e^{y}} \quad\left(x+e^{y} \neq 0\right)

微分

计算导数的方法就叫微分学。

微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率（导数或微商）。

微分的几何意义

微分的概念

一个正方形金属薄片边长是xx，受热膨胀了边长增加了Δx\Delta x。

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膨胀后的总面积面积其表达式为：y0=f(x+Δx)=(x+Δx)2=x2+2x⋅Δx+(Δx)2y_0=f(x+\Delta x)=(x+\Delta x)^{2}=x^{2}+2 x \cdot \Delta x+(\Delta x)^{2}

原始的正方形的面积yy与其边长xx的关系是绿色的区域：y=f(x)=x2y={\displaystyle f(x)}=x^2

膨胀后的新增加的面积是红色的区域（两个长方形+一个小正方形）：Δy=f(x+Δx)−f(x)=(x+Δx)2−x2=2x⋅Δx+(Δx)2\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=(x+\Delta x)^{2}-x^2=2x\cdot \Delta x+(\Delta x)^{2}

当增量Δx\Delta x非常非常小，以至于Δx→0\Delta x \to0时，相应的(Δx)2(\Delta x)^2：lim⁡Δx→0(Δx)2Δx=0\lim_{\Delta x \to 0} {\frac {(\Delta x)^{2} } {\Delta x} }=0，即(Δx)2=o(Δx)(\Delta x)^2=o(\Delta x)

那么面积Δy\Delta y可以用Δx\Delta x的一次函数（2x⋅Δx2x\cdot \Delta x）近似代替，误差为(Δx)2(\Delta x)^2

结论：函数的增量=自变量增量的一次函数+o(自变量增量)

函数的增量≈自变量增量的一次函数

我们把Δx→0\Delta x \to0时的Δx\Delta x和Δy\Delta y写作 dx\mathrm{~d}x和 dx\mathrm{~d}x，则新增的红色的区域可以写作：

 dy=2x⋅ dx+( dx)2=2x⋅ dx+o( dx)\mathrm{~d} y=2 x \cdot \mathrm{~d} x+(\mathrm{~d} x)^{2}=2 x \cdot \mathrm{~d} x+o(\mathrm{~d} x)

把 dx\mathrm{~d} x的高阶无穷小项o( dx)o(\mathrm{~d} x)略去，只留主部，如下：

 dy=2x⋅ dx\mathrm{~d} y=2 x \cdot \mathrm{~d} x

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所以函数的微分表达式可以表示为：

 dy=f′(x)⋅ dx\mathrm{~d} y={\displaystyle f^{\prime}(x)}\cdot \mathrm{~d} x

并且没有声明的时候 dx\mathrm{~d} x可以直接换成Δx\Delta x

基本初等函数求导公式和微分公式对照表

导数公式 微分公式
(xμ)′=μxμ−1\left(x^{\mu}\right)^{\prime}=\mu x^{\mu-1}  d(xμ)=μxμ−1⋅ dx\mathrm{~d}\left(x^{\mu}\right)=\mu x^{\mu-1} \cdot \mathrm{~d} x
(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)^{\prime}=\cos x  d(sin⁡x)=cos⁡x⋅ dx\mathrm{~d}(\sin x)=\cos x \cdot \mathrm{~d} x
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)^{\prime}=-\sin x  d(cos⁡x)=−sin⁡x⋅ dx\mathrm{~d}(\cos x)=-\sin x \cdot \mathrm{~d} x
(tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)^{\prime}=\sec ^{2} x  d(tan⁡x)=sec⁡2x⋅ dx\mathrm{~d}(\tan x)=\sec ^{2} x \cdot \mathrm{~d} x
(cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)^{\prime}=-\csc ^{2} x  d(cot⁡x)=−csc⁡2x⋅ dx\mathrm{~d}(\cot x)=-\csc ^{2} x \cdot \mathrm{~d} x
(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x(\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x  d(sec⁡x)=sec⁡xtan⁡x⋅ dx\mathrm{~d}(\sec x)=\sec x \tan x \cdot \mathrm{~d} x
(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x(\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x  d(csc⁡x)=−csc⁡cot⁡x⋅ dx\mathrm{~d}(\csc x)=-\csc \cot x \cdot \mathrm{~d} x
(ax)′=axln⁡a(a>0 且 a≠1)\left(a^{x}\right)^{\prime}=a^{x} \ln a \quad (a>0 \text { 且 } a \neq 1)  d(ax)=axln⁡a⋅ dx(a>0 且 a≠1)\mathrm{~d}\left(a^{x}\right)=a^{x} \ln a \cdot \mathrm{~d} x \quad (a>0 \text { 且 } a \neq 1)
(ex)′=ex\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=\mathrm{e}^{x}  d(ex)=ex⋅ dx\mathrm{~d}\left(\mathrm{e}^{x}\right)=\mathrm{e}^{x} \cdot \mathrm{~d} x
(log⁡ax)′=1xln⁡a(a>0 且 a≠1)\left(\log { }_{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} \quad (a>0 \text { 且 } a \neq 1)  d(log⁡x)=1xln⁡a⋅ dx(a>0 且 a≠1)\mathrm{~d}(\log x)=\frac{1}{x \ln a} \cdot \mathrm{~d} x \quad (a>0 \text { 且 } a \neq 1)
(ln⁡x)′=1x(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}  d(ln⁡x)=1x⋅ dx\mathrm{~d}(\ln x)=\frac{1}{x} \cdot \mathrm{~d} x
(arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}  d(arcsin⁡x)=11−x2⋅ dx\mathrm{~d}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \mathrm{~d} x
(arccos⁡x)′=−11−x2⋅ dx(\arccos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \mathrm{~d} x  d(arccot⁡x)=−11+x2⋅ dx\mathrm{~d}(\operatorname{arccot} x)=-\frac{1}{1+x^{2}} \cdot \mathrm{~d} x
(arctan⁡x)′=11+x2(\arctan x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}}  d(arccos⁡x)=−11−x2⋅ dx\mathrm{~d}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \cdot \mathrm{~d} x
(arccot⁡x)′=−11+x2(\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}  d(arccot⁡x)=−11+x2⋅ dx\mathrm{~d}(\operatorname{arccot} x)=-\frac{1}{1+x^{2}} \cdot \mathrm{~d} x

函数和、差、积、商求导法则与微分法则对照表

函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则
(u±v)′=u′±v′(u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime}  d(u±v)=(u±v)′⋅ dx=u′⋅ dx±v′⋅ dx= du± dv\mathrm{~d}(u \pm v)=(u \pm v)^{\prime} \cdot \mathrm{~d} x=u^{\prime} \cdot \mathrm{~d} x \pm v^{\prime} \cdot \mathrm{~d} x=\mathrm{~d} u \pm \mathrm{~d} v
(Cu)′=Cu′(\mathrm{C} u)^{\prime}=\mathrm{C} u^{\prime}  d(Cu)=(Cu)′ dx=Cu′⋅ dx=C⋅ du\mathrm{~d}(\mathrm{C} u)=(\mathrm{C} u)^{\prime} \mathrm{~d} x=\mathrm{C} u^{\prime} \cdot \mathrm{~d} x=\mathrm{C} \cdot \mathrm{~d} u
(uv)′=u′v+uv′(u v)^{\prime}=u^{\prime} v+u v^{\prime}  d(uv)=(uv)′⋅ dx=(u′v+uv′)⋅ dx=u′v⋅ dx+uv′⋅ dx=v⋅ du+u⋅ dv\mathrm{~d}(u v)=(u v)^{\prime} \cdot \mathrm{~d} x=\left(u^{\prime} v+u v^{\prime}\right) \cdot \mathrm{~d} x=u^{\prime} v \cdot \mathrm{~d} x+u v^{\prime} \cdot \mathrm{~d} x=v \cdot \mathrm{~d} u+u \cdot \mathrm{~d} v
(uv)′=u′v−uv′v2(v≠0)\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} \quad(v \neq 0)  d(uv)=(uv)′⋅ dx=u′v−uv′v2⋅ dx=v⋅ du−u⋅ dvv2(v≠0)\mathrm{~d}\left(\frac{u}{v}\right)=\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} \cdot \mathrm{~d} x=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}} \cdot \mathrm{~d} x=\frac{v \cdot \mathrm{~d} u-u \cdot \mathrm{~d} v}{v^2} \quad(v \neq 0)

复合函数

设y=f(u)y=f(u)及u=g(x)u=g(x)都可导, 则复合函数y=f[g(x)]y=f[g(x)]的微分为

 dy=yx′ dx=f′(u)g′(x) dx\mathrm{~d} y=y_{x}^{\prime} \mathrm{~d} x=f^{\prime}(u) g^{\prime}(x) \mathrm{~d} x

由于 g′(x) dx= dug^{\prime}(x) \mathrm{~d} x=\mathrm{~d} u, 所以, 复合函数y=f[g(x)]y=f[g(x)]的微分公式也可以写成

 dy=f′(u) du\mathrm{~d} y=f^{\prime}(u) \mathrm{~d} u或 dy=yu′ du\mathrm{~d} y=y_{u}^{\prime} \mathrm{~d} u

近似公式

常用近似公式
1+xn≈1+1nx\sqrt[n]{1+x} \approx 1+\frac{1}{n} x
sin⁡x≈x\sin x \approx x
tan⁡x≈x\tan x \approx x
ex≈1+xe^{x} \approx 1+x
ln⁡(1+x)≈x\ln (1+x) \approx x