如何理解最小二乘法？

日用而不知

来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：

用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：

$\begin{align} \begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad长度\qquad\\\hline \color{red}红& 10.2 \\\hline \color{blue}蓝& 10.3 \\\hline \color{orange}橙&9.8\\\hline \color{Goldenrod}黄&9.9\\\hline \color{green}绿&9.8\\ \end{array} \end{align}$

之所以出现不同的值可能因为：

不同厂家的尺子的生产精度不同
尺子材质不同，热胀冷缩不一样
测量的时候心情起伏不定
…

总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：

$\begin{align}\overline{x}=\frac{10.2+10.3+9.8+9.9+9.8}{5}=10\end{align}$

日常中就是这么使用的。可是作为很事’er的数学爱好者，自然要想下：

这样做有道理吗？
用调和平均数行不行？
用中位数行不行？
用几何平均数行不行？

最小二乘法

换一种思路来思考刚才的问题。

首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作 $y_i$ ：

其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作 $y$ ：

每个点都向 $y$ 做垂线，垂线的长度就是 $|y-y_i|$ ，也可以理解为测量值和真实值之间的误差：

因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：

$\begin{align}|y-y_i|\to (y-y_i)^2\end{align}$

总的误差的平方就是：

$\begin{align} \epsilon=\sum (y-y_i)^2 \end{align}$

因为 $y$ 是猜测的，所以可以不断变换：

自然，总的误差 $\epsilon$ 也是在不断变化的。

这就是最小二乘法，即：

$\begin{align} \epsilon=\sum (y-y_i)^2最小\implies 真值y \end{align}$

这个猜想也蛮符合直觉的，来算一下。

这是一个二次函数，对其求导，导数为0的时候取得最小值：

$\begin{align}\begin{aligned} \frac{d}{dy}\epsilon &=\frac{d}{dy}\sum (y-y_i)^2=2\sum (y-y_i)\\ \quad\\ &=2((y-y_1)+(y-y_2)+(y-y_3)+(y-y_4)+(y-y_5))=0 \quad\\ \end{aligned} \end{align}$

进而：

$\begin{align} 5y=y_1+y_2+y_3+y_4+y_5\implies y=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4+y_5}{5} \end{align}$

正好是算术平均数。

原来算术平均数可以让误差最小啊，这下看来选用它显得讲道理了。

以下这种方法：

$\begin{align} \epsilon=\sum (y-y_i)^2最小\implies 真值y \end{align}$

就是最小二乘法，所谓“二乘”就是平方的意思，台湾直接翻译为最小平方法。

推广

算术平均数只是最小二乘法的特例，适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途就广泛。

比如温度与冰淇淋的销量：

$\begin{align} \begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad销量\qquad\\\hline \color{red}{25^\circ}& 110 \\\hline \color{blue}{27^\circ}& 115 \\\hline \color{orange}{31^\circ}&155\\\hline \color{Goldenrod}{33^\circ}&160\\\hline \color{green}{35^\circ}&180\\ \end{array} \end{align}$

看上去像是某种线性关系：

可以假设这种线性关系为：

$\begin{align}f(x)=ax+b\end{align}$

通过最小二乘法的思想：

上图的 $i,x,y$ 分别为：

$\begin{align} \begin{array}{c|c|c} \qquad i\qquad&\qquad x\qquad&\qquad y\qquad\\\hline 1&25& 110 \\\hline 2&27& 115 \\\hline 3&31&155\\\hline 4&33&160\\\hline 5&35&180\\ \end{array} \end{align}$

总误差的平方为：

$\begin{align} \epsilon=\sum (f(x_i)-y_i)^2=\sum (ax_i+b-y_i)^2 \end{align}$

不同的 $a,b$ 会导致不同的 $\epsilon$ ，根据多元微积分的知识，当：

$\begin{align} \begin{cases} \frac{\partial}{\partial a}\epsilon=2\sum (ax_i+b-y_i)x_i=0\\ \quad\\ \frac{\partial}{\partial b}\epsilon=2\sum (ax_i+b-y_i)=0 \end{cases} \end{align}$

这个时候 $\epsilon$ 取最小值。

对于 $a,b$ 而言，上述方程组为线性方程组，用之前的数据解出来：

$\begin{align} \begin{cases} a\approx 7.2\\ \quad\\ b\approx -73 \end{cases} \end{align}$

也就是这根直线：

其实，还可以假设：

$\begin{align}f(x)=ax^2+bx+c\end{align}$

在这个假设下，可以根据最小二乘法，算出 $a,b,c$ ，得到下面这根红色的二次曲线：

同一组数据，选择不同的 $f(x)$ ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线：

不同的数据，更可以选择不同的 $f(x)$ ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线：

$f(x)$ 也不能选择任意的函数，还是有一些讲究的，这里就不介绍了。

最小二乘法与正态分布

高斯换了一个思考框架，通过概率统计那一套来思考。

让我们回到最初测量线段长度的问题。高斯想，通过测量得到了这些值：

每次的测量值 $x_i$ 都和线段长度的真值 $x$ 之间存在一个误差：

$\begin{align} \epsilon_i=x-x_i \end{align}$

这些误差最终会形成一个概率分布，只是现在不知道误差的概率分布是什么。假设概率密度函数为：

$\begin{align}p(\epsilon)\end{align}$

再假设一个联合概率密度函数，这样方便把所有的测量数据利用起来：

$\begin{align} \begin{aligned} L(x) &=p(\epsilon_1)p(\epsilon_2)\cdots p(\epsilon_5)\\ \quad\\ &=p(x-x_i)p(x-x_2)\cdots p(x-x_5) \end{aligned} \end{align}$

因为 $L(x)$ 是关于 $x$ 的函数，并且也是一个概率密度函数（下面分布图形是随便画的)：