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郑重声明：文中所涉及的技术、思路和工具仅供以安全为目的的学习交流使用，如果您不同意请关闭该页面！任何人不得将其用于非法用途以及盈利等目的，否则后果自行承担！ 前言 学！后续会持续更新 系统密码 DPAPI解密 使用用户登录密码解密Master Key file，获得Master Key 固定位置： %APPDATA%\Microsoft\Protect\%SID%下往往有多个Master Key file 这是为了安全起见，系统每隔90天会自动生成一个新的Master Key(旧的不会删除) %APPDATA%\Microsoft\Protect\%SID%下存在一个固定文件Preferred，包含最后一个Master Key file的名称和创建时间，文件结构如下： typedef struct _tagPreferredMasterKey{ GUID guidMasterKey; FILETIME ftCreated;} PREFERREDMASTERKEY, *PPREFERREDMASTERKEY; 完整的流程： 找到本机的Master Key ...

郑重声明：文中所涉及的技术、思路和工具仅供以安全为目的的学习交流使用，如果您不同意请关闭该页面！任何人不得将其用于非法用途以及盈利等目的，否则后果自行承担！ 前言 找笔记是在太烦人了，干脆全部写在一篇里面（来自1年半后的从写 随手测试语句 语句前面适当加入' 、"、and等参数 #算个MD5extractvalue(1,concat(char(126),md5(1941797210)))#MySQL常用的盲注语句(CASE/**/WHEN/**/(2382=2382)/**/THEN/**/SLEEP(5)/**/ELSE/**/2382/**/END) (select*from(select+sleep(4)union/**/select+1)a)#SQL Server常用的盲注语句/**/and(select+1)>0waitfor/**/delay'0:0:4'/**/#Oracle常用的盲注语句/**/and/**/3=DBMS_PIPE.RECEIVE_MESSAGE('n',2)#PostgreSQL常用 ...

郑重声明：文中所涉及的技术、思路和工具仅供以安全为目的的学习交流使用，如果您不同意请关闭该页面！任何人不得将其用于非法用途以及盈利等目的，否则后果自行承担！ 验证码相关 手机短信接码 国内平台 https://www.pdflibr.comhttps://www.visitorsms.com/cnhttps://www.becmd.comhttp://www.114sim.comhttps://yunduanxin.nethttp://www.smszk.comhttp://z-sms.comhttp://www.shejiinn.comhttps://sms.cngrok.com 国外平台 https://ch.freephonenum.comhttps://smsreceivefree.comhttps://zh.mytrashmobile.comhttps://www.receive-sms-online.infohttps://receiveasms.comhttps://sms-online.co/receive-free-smshttps://receive-sm ...

郑重声明：文中所涉及的技术、思路和工具仅供以安全为目的的学习交流使用，如果您不同意请关闭该页面！任何人不得将其用于非法用途以及盈利等目的，否则后果自行承担！ 于2020/3/18日重新排版修改 根目录解析 / - 根目录 每一个文件和目录都从这里开始。 只有root用户具有该目录下的写权限。此目录和/root目录不同，/root目录是root用户的主目录。 /bin - 用户二进制文件 包含二进制可执行文件。 系统的所有用户使用的命令都设在这里，例如：ps，ls，ping，grep，cp等。 /sbin - 系统二进制文件 就像/bin，/sbin同样也包含二进制可执行文件。 但是，在这个目录下的linux命令通常由系统管理员使用，对系统进行维护。例如：iptables、reboot、fdisk、ifconfig、swapon命令。 /etc - 配置文件 包含所有程序所需的配置文件。 也包含了用于启动/停止单个程序的启动和关闭shell脚本。例如：/etc/resolv.conf、/etc/logrotate.conf /dev - 设备文件 这些包括终端设备、 ...

郑重声明：文中所涉及的技术、思路和工具仅供以安全为目的的学习交流使用，如果您不同意请关闭该页面！任何人不得将其用于非法用途以及盈利等目的，否则后果自行承担！ 前言 今天想用自己USB入侵设备的时候，发现WIFI密码给忘了 重装的时候发现自己没有写详细过程！呸！！最后只能删了重写写过。 写在前头血的教训 树莓派没有那么容易坏不用买第二个！！ 网上的wpa_supplicant.conf开启WIFI我试了N次都没成功过 USB转接头一定要买不需要焊接(别买Zero Quick Plug Bad USB 树莓派Zero W自带WIFI所以别再买WIFI模块了 装完P4wnP1切记重启不要直接拔掉会导致开不了机 sudo shutdown -r now 成品图 硬件需求 树莓派Zero W USB接头 TF卡一张 通过网线连接树莓派 首先在config.txt最末行处换行添加如下代码，打开usb网卡模式 dtoverlay=dwc2 其次在cmdline.txt文件中找到rootwait字段，并在其后面空格添加如下信息，在打开系统时开启 ...

郑重声明：文中所涉及的技术、思路和工具仅供以安全为目的的学习交流使用，如果您不同意请关闭该页面！任何人不得将其用于非法用途以及盈利等目的，否则后果自行承担！ 前言 对两年前的知识进行了下温习，发现好多坑都填上了，然后把之前的文章删了总结到了一篇，到时候还有些点需要填上 Windows/Linux的内存结构 关于栈 两个系统的内容都差不多可以参考这篇文章：Linux栈溢出总结0x00 关于堆 暂时未有，等写到的时候添加 Windows的内存结构分布 首先是内存结构分布图，windows的内存默认是从0x80000000位置开始的 Linux的内存结构分布 首先先放个内存结构图，linux内存默认是从0xC0000000位置开始的 Windows/Linux的汇编区别 x86汇编一直存在两种不同的语法，在intel的官方文档中使用intel语法，Windows也使用intel语法，而UNIX平台的汇编器一直使用AT&T语法。而linux是UNIX衍生的一种系统所有也是使用AT&T语法。 相关区别： AT&T使用 $ 表示立即操作数，而Intel的 ...

远程下发任务 Agent端 首先需要在每一台Agent的/var/ossec/etc/local_internal_options.conf路径添加一下内容 logcollector.remote_commands=1wazuh_command.remote_commands=1 接着重启agent systemctl restart wazuh-agent 如果修改配置出现什么问题的话可以通过这个命令来调试 /var/ossec/bin/wazuh-control start Manager端 比如我们的这个Agent的组是默认的default，那么我们就可以修改/var/ossec/etc/shared/default/agent.conf这个配置文件，在里面添加我们需要的配置，官方文档 <agent_config os="Linux"> <localfile> <log_format>full_command</log_format> <command>ip a&l ...

Agent端配置 注意事项 在我们找到最终方案之前，曾有过两次关键的失败，理解它们至关重要： 无效操作一：仅监控命令执行 (execve) 原因：我们最初只配置auditd监控execve系统调用。但反弹shell的核心 >& /dev/tcp/... 是bash的内置重定向功能，它不执行一个新程序，而是bash进程自己直接调用了底层的connect系统调用。因此，execve规则根本“看”不到这个关键的网络连接动作。 结论：只监控execve，对于检测这类反弹shell是无效的。 无效操作二：不正确的auditd规则加载方式 原因：我们发现，即使修改了规则文件，auditctl -l显示的内核规则也一成不变。这是因为系统的augenrules脚本加载失败或逻辑混乱，导致新规则无法生效，内核中残留着“幽灵规则”。 结论：简单地修改规则文件并重启auditd服务，在这种有冲突的环境下是无效的。 在Agent端配置反弹Shell监控的完整有效流程 要在任何一台新的Linux Agent上成功部署监控，请严格执行以下三个步骤。 前提：安装审计工具 确保您 ...

注意事项这份流程会考虑到： Helm 的正确安装和卸载。 Service 端口缺失的补丁方案 tetra CLI 工具的正确使用。 多终端同步操作和日志过滤。 动态 Pod 名称查找。 请严格按照步骤执行，并确保在各自的终端窗口中操作。 Tetragon 完整部署与测试流程前提条件 Kubernetes 集群: 已准备就绪，推荐至少 2 个节点（一个 Master，一个 Worker）以模拟真实环境，确保 Tetragon DaemonSet 能部署到 Worker 节点。 kubectl: 已配置好，可以连接到你的 Kubernetes 集群。 Helm: 已安装并可用于管理 Kubernetes 应用。 tetra CLI 工具: 已下载到你的工作目录，或者已添加到系统 PATH 中。如果它在当前目录，后续命令请使用 ./tetra。 测试 Pod 定义文件: test-pod.yaml，内容如下： # test-pod.yamlapiVersion: v1kind: Podmetadata: name: busybox-test namespace: default ...

写在前面 不推荐使用elkeid，理由如下： 开源版本与商业版本相差N个大版本 开源版本销售已经说不再更新 安装文档文档描述非常不清楚约等于无 规则文档也没有，就是不让你再写规则买他们商业版 现版本1.9.1连写完规则放进到规则目录也不会生效，前端也无添加规则位置 总结：别浪费时间，这玩意开源版本就是一坨屎 镜像配置 首先需要下载镜像，由于这玩意的问题，所以只能使用centos 7.x 或 debian 9/10，别不信邪，我用了kali、Ubuntu都以失败告终 镜像：debian 10 IP：192.168.23.137 分配磁盘：80G 分配CPU：8核 账户：xiaomi 环境配置 首先配置下ssh，这玩意有大用，你不配好后面安装各种坑 先装SSH，方便远程连接，省的虚拟机要装vm-tools apt-get install -y ssh/etc/init.d/ssh start 然后远程连接上 ssh xiaomi@192.168.23.137 修改SSH的配置，vim /etc/ssh/sshd_config，把内容修改为下面的 Port 22ListenAd ...

安装环境说明 硬件要求 内存：3GB或更多RAM CPU: 2核CPU或更多CPU 硬盘: 20GB或更多 本次环境说明： 操作系统：CentOS 10 master： 192.168.23.133 node01： 192.168.23.135 node02： 192.168.23.134 环境准备 关闭防火墙和selinux 关闭防火墙 systemctl stop firewalld && systemctl disable firewalld && iptables -F 关闭selinux sed -i 's/enforcing/disabled/' /etc/selinux/config && setenforce 0 关闭swap分区 临时关闭 swapoff -a 永久关闭swap 永久关闭是需要关机重启生效的，所以还是要把临时关闭命令也执行下 sed -ri 's/.*swap.*/#&/' /etc/fstab 修改hosts文件 设置主机名 不设置也可以，但是要保证主机 ...

郑重声明：文中所涉及的技术、思路和工具仅供以安全为目的的学习交流使用，如果您不同意请关闭该页面！任何人不得将其用于非法用途以及盈利等目的，否则后果自行承担！ 安装CodeQL CodeQL CLI 首先需要配置一下引擎，在这个项目中有编译好的项目https://github.com/github/codeql-cli-binaries。 CLI 二进制文件支持主流的操作系统，包括 Windows、MacOS、Linux 解压下载的文件 将下载的CodeQL CLI安装包解压到你选择的安装目录，例如C:\Software\codeql（Windows）或/usr/local/codeql（Linux/MacOS）。 设置环境变量 将CodeQL CLI的安装目录添加到你的系统环境变量中，以便在命令行中直接调用codeql命令。 在Windows上，可以通过“系统属性”->“高级”->“环境变量”来设置。 在Linux/MacOS上，可以通过修改~/.bashrc、~/.zshrc或类似的shell配置文件，并添加类似export PATH=$PATH:/usr/lo ...

单机器搭建Severwazuh的server端安装可以参考官方文档 # 修改开放端口sudo firewall-cmd --permanent --add-port=1514/tcpsudo firewall-cmd --permanent --add-port=1515/tcpsudo firewall-cmd --permanent --add-port=1516/tcpsudo firewall-cmd --permanent --add-port=443/tcpsudo firewall-cmd --permanent --add-port=55000/tcpsudo firewall-cmd --reloadsudo firewall-cmd --list-all# 安装命令wget https://packages.wazuh.com/4.9/wazuh-install.shchmod +x wazuh-install.sh./wazuh-install.sh -a# 重装命令：./wazuh-install.sh -a -i -o# 卸载命令：./wazuh-insta ...

前言 写爬虫的时候迁移到群辉中发现各种不兼容，各种环境都会出问题，所以就有个本文。 搭建两个环境selenium/standalone-chrome和v2fly/v2fly-core selenium docker run -d -p 4444:4444 -p 7900:7900 selenium/standalone-chrome:latest selenium的4444端口是API使用的，而7900是noNVC访问的，密码的话是secret，如果要看每个调用结果和堵塞情况，可以直接访问http://127.0.0.1:4444/ui/#查看API调用信息 v2ray 搭建v2ray的官方docker是v2fly/v2fly-core，这边注意的需要先配置一个config.json文件到本地的/text/Downloads文件目录中 { "log": { "access": "", "loglevel": "info", "error ...

前言 虽然没有主力机性能好，但是应该将就够用了 硬件 型号 单价 总价 当前价格 CPU i5-14600T 1490 1490 1490 内存 宏基掠夺者冰刃 6800HZ 16GX2 929 929 807 机箱 GAMEMAX 巨人 M905全铁侧板 358 358 338 硬盘 西数 HC570 22T*8 2799 22392 5343 西数 HC580 24T*8 3388 27104 固态盘（系统盘） 西数 SN580 1T 389 389 387 散热 追风者S5 109 109 104 风扇 追风筝T30 179 358 295 主板 七彩虹 CVN Z790D5 GAMING FROZE V20 巡洋舰 1400 1400 1080 电源 首席玩家 NGDP 1300 铂金牌 ATX3.0&3.1 1709 1709 1429 显卡 普通垃圾显卡即可 未知 未知 未知 56238 11273 CPU 对于这次配另一个主机，发现了一些低功耗或者一些不常见的后缀，想着记录一下感觉还挺 ...

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梯度下降法是用来计算函数最小值的。它的思路很简单，想象在山顶放了一个球，一松手它就会顺着山坡最陡峭的地方滚落到谷底： 凸函数图像看上去就像上面的山谷，如果运用梯度下降法的话，就可以通过一步步的滚动最终来到谷底，也就是找到了函数的最小值。 动机 先解释下为什么要有梯度下降法？其实最简单的二维凸函数是抛物线f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2，很容易通过解方程f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0求出最小值在x=0x=0x=0处： 只是有一些凸函数，比如下面这个二元函数（该函数实际上是逻辑回归的经验误差函数，在监督式学习中确实需要求它的最小值）： \begin{align}\begin{aligned} f(w_0,w_1) &=\frac{1}{6}\Big[\ln\Big(1+e^{w_0+2w_1}\Big)+\ln\Big(1+e^{-w_0-7w_1}\Big)\\ &\qquad\quad+\ln\Big(1+e^{-w_0-4w_1}\Big)+\ln\Big(1+e^{w_0+w_1}\Big)\\ ...

日用而不知 来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子： 用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）： \begin{align} \begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad长度\qquad\\\hline \color{red}红& 10.2 \\\hline \color{blue}蓝& 10.3 \\\hline \color{orange}橙&9.8\\\hline \color{Goldenrod}黄&9.9\\\hline \color{green}绿&9.8\\ \end{array} \end{align} 之所以出现不同的值可能因为： 不同厂家的尺子的生产精度不同 尺子材质不同，热胀冷缩不一样 测量的时候心情起伏不定 … 总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度： \begin{align}\overline{x}=\frac{10.2+10.3+9.8+9.9+9.8}{5}=10\end{align} 日常中就是这么使用的。可是 ...

回归大致可以理解为根据数据集DDD，拟合出近似的曲线，所以回归也常称为拟合，像下列右图一样拟合出来是直线的就称为线性回归： 下面就来解释其中的一些细节。 线性回归 首先，为什么拟合曲线会被称为回归呢？ 均值回归 “回归”这个词源于弗朗西斯·高尔顿爵士 他发现高个子父亲的儿子身高会矮一些，而矮个子父亲的儿子身高会高一些（否则高个子家族会越来越高，而矮个子家族会越来越矮），也就是说人类的身高都会回到平均值附近，他将这种现象称为均值回归。 线性回归 高尔顿的研究过程用现在的数学语言来表述就是，首先对一些父子的身高进行了抽样，得到数据集DDD；然后根据数据集拟合出一条直线；最后通过该直线就可以对某父亲的x\boldsymbol{x}x儿子的身高进行预测了： 数据集D 拟合 预测 高尔顿拟合的直线方程为（单位为米）： \begin{align}y=0.516x+0.8567\end{align} 将方程和y=xy=xy=x联立，可得： \begin{align}\begin{cases} y=0.516x+0.8567\\ y=x \end{cases} \implies x ...

aec8828ddeb19819162e4cc27216aa7150020e0ae90a4dcab024a665cdb56f48339b415a18f03bb905b553bc43f4717b13aed75780db4bfc536b2322e8d6235f1b33ada4836515f275aff339be3e607f5752bd820379a808a0983f9adb4fc0ac23c87b1b491796bfee9b2d03a77aa06c3fb84aeed4293ae0d88685a99d8eebe3f61c2fb71d04eb3043f60dd65896ec7aa764d3b2f2d5264e0d134a71825ebb73e05c8734ea0eebb14e2043ace5b0de2f5af3f0f20db50d9db43349da842df453823919f381f4e769640af863c950bfff52062858cb127cfac6210dcf4b64843e82e52089ad975e1d1759e41b2bb8b50f03fbd04411e472569 ...

二次型的定义及其矩阵表达式 nnn元变量x1,x2,⋯ ,xnx_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}x1​,x2​,⋯,xn​的二次齐次多项式 \begin{align}\begin{array}{r} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{11} x_{1}^{2}+2 a_{12} x_{1} x_{2}+\cdots+2 a_{1 n} x_{1} x_{n} \\ +a_{22} x_{2}^{2}+\cdots+2 a_{2 n} x_{2} x_{n} \\ +\cdots \\ +a_{n n} x_{n}^{2} \end{array}\end{align} 称为nnn元二次型，简称二次型。考研只研究系数aij∈R(i⩽j;i,j=1,2,⋯ ,n)a_{i j} \in \mathbf{R}(i \leqslant j ; i, j=1,2, \cdots, n)aij​∈R(i⩽j;i,j=1,2,⋯,n)的情况，故称此二次型fff为实二次型. 例题 写出三元二次型f(x1,x2,x3)=2x12 ...

矩阵的相似定义：设$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$都是$n$阶方阵，若有可逆矩阵$\boldsymbol{P}$，使得： $\begin{align}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}\end{align}$ 则称$\boldsymbol{P}$为相似变换矩阵（Similarity transformation matrix），称$\boldsymbol{B}$是$\boldsymbol{A}$的相似矩阵（Similar matrix)，记作： $\begin{align}\boldsymbol{A}\simeq \boldsymbol{B}\end{align}$ 简单解释下上述定义，如果$\boldsymbol{A}$和$\boldsymbol{B}$是相似矩阵，那么两者实际上是同一个线性映射在不同基下的代数表示： 再严谨点的话，应该说相似矩阵是特殊的、同一个线性映射在不同基下的代数表示。这里有两层意思： 什么是“同一个线性映射在不同基下的代数表示”？ 为什 ...

特征向量与特征值 基本概念 设A\boldsymbol{A}A是nnn阶矩阵，λ\lambdaλ是一个数，若存在nnn维非零列向量ξ\boldsymbol{\xi}ξ，使得 \begin{align}\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\lambda \boldsymbol{\xi}\end{align} 则称λ\lambdaλ是A\boldsymbol{A}A的特征值，ξ\boldsymbol{\xi}ξ是A\boldsymbol{A}A的对应于特征值λ\lambdaλ的特征向量 查看详情由Aξ=λξ\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\lambda \boldsymbol{\xi}Aξ=λξ可以得到下面式子 \begin{align}(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}\end{align} 因ξ≠0\boldsymbol{\xi} \neq \mathbf{0}ξ​=0，故 \begin{align}|\lambda \bo ...

求导定义与求导布局 矩阵向量求导引入 在高等数学里面，我们已经学过了标量对标量的求导，比如标量yyy对标量xxx的求导，可以表示为∂y∂x\frac{\partial y}{\partial x}∂x∂y​。 如果我们把这组标量写成向量的形式，即得到维度为mmm的一个向量y\mathbf{y}y对一个标量xxx的求导，那么结果也是一个mmm维的向量： ∂y/∂x\partial \mathbf{y} / \partial x∂y/∂x 可见，所谓向量对标量的求导，其实就是向量里的每个分量分别对标量求导，最后把求导的结果排列在一起，按一个向量表示而已。类似的结论也存在于标量对向量的求导，向量对向量的求导，向量对矩阵的求导，矩阵对向量的求导，以及矩阵对矩阵的求导等。 为了便于描述，后面如果没有指明，则求导的自变量用xxx表示标量，x\mathbf{x}x表示nnn维向量，X\mathbf{X}X表示m×nm \times nm×n维度的矩阵，求导的因变量用yyy表示标量，y\mathbf{y}y表示mmm维向量，Y\mathbf{Y}Y表示p×qp \times qp×q维度的矩阵。 ...

线性方程组与向量组其实是一回事 我们来看一般的非齐次线性方程组，aija_{ij}aij​就是系数 \begin{align}\left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1}, \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\ \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \end{array}\right.\end{align} 下面就是该方程组的系数矩阵，Am×nA_{m \times n}Am×n​其中mmm表示所给方程的个数而nnn表示未知数的个数 \begin{align}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \c ...

本篇为文章的延伸 张成空间 某向量组A={v1,v2,...,vp}\mathcal{A}=\{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},...,\boldsymbol{v_p}\}A={v1​,v2​,...,vp​}，其所有线性组合构成的集合为向量空间，也称为向量组A\mathcal{A}A的张成空间，记为span(v1,v2,...,vp)span(\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},...,\boldsymbol{v_p})span(v1​,v2​,...,vp​)，即： \begin{align}span(\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2},...,\boldsymbol{v_p})=\{k_1\boldsymbol{v_1}+k_2\boldsymbol{v_2}+...+k_p\boldsymbol{v_p},k_{1,2,...,p}\in\mathbb{R}\}\end{align} 也称span(v1,v2,...,vp)span(\boldsymbol{v_1},\bold ...

看本篇内容之前，先看下这个视频，对理解帮助很大 列空间 矩阵A\boldsymbol{A}A的列向量为： \begin{align}\boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} {\color{green}{a_{11}}}&{\color{blue}{a_{12}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{1n}}}\\ {\color{green}{a_{21}}}&{\color{blue}{a_{22}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{2n}}}\\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ {\color{green}{a_{m1}}}&{\color{blue}{a_{m2}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{mn}}} \end{pmatrix} =({\color{green}{\boldsymbol{c_1}}},{\color{blue}{\ ...

函数的四要数 函数代表了集合X\boldsymbol{X}X中的元素和Y\boldsymbol{Y}Y中的元素的一种对应关系： 这种对应关系中，有四个重要概念，或者称为函数的四要素： 定义域：集合X\boldsymbol{X}X 映射法则fff：指明中X\boldsymbol{X}X的元素怎么和中元Y\boldsymbol{Y}Y素关联 值域：通过映射法fff和定义域X\boldsymbol{X}X决定，表示X\boldsymbol{X}X映射到Y\boldsymbol{Y}Y中的值 到达域：集合Y\boldsymbol{Y}Y 四要素包含了函数fff的所有细节，所以，函数fff又可以写作： \begin{align}f:X\to Y\end{align} 值域因为可以由f(x),x∈Xf(x),x\in Xf(x),x∈X来决定，所以上面的代数式没有表示值域。 韦恩图 可以用韦恩图来表示函数的四要素： 自然定义域 使函数有意义的一切元素组成的集合称为自然定义域 比如，对于函数f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2，它在整个实数范围内都有定义，也就是说它的定义域是实数域 ...

全篇的内容都在讲如何求解矩阵的逆 方法适用范围 定义法：解决抽象型问题 初等变换法：解决具体型的问题 伴随法：解决具体型的问题 矩阵的逆 存在性 只有双射函数f(x)f(x)f(x)，有反函数f−1(x)f^{-1}(x)f−1(x)： 双射函数 反函数 同样的道理，只有矩阵函数为双射时才有反函数，所以根据矩阵函数双射的条件有： 当矩阵A\boldsymbol{A}A为满秩矩阵时，对应的矩阵函数为双射，此时存A\boldsymbol{A}A在反函数，称为A\boldsymbol{A}A可逆。其反函数记作A−1\boldsymbol{A}^{-1}A−1，称为A\boldsymbol{A}A的逆矩阵。 比如，下面是某满秩矩阵A\boldsymbol{A}A，在它的作用下矩形变为了平行四边形： 而在它的反函数，或者说逆矩阵A−1\boldsymbol{A}^{-1}A−1的作用下，图形又变回了原来的样子，这就是逆矩阵的几何意义： 如果B\boldsymbol{B}B不是满秩矩阵，在它的作用下矩形变成了线段，信息丢失了没有办法变回原来的矩形了（就好像易拉罐被踩扁了，没法复原了)， ...

矩阵和行列式的区别 行列式的表示方式：det⁡(A)=∣A∣=∣1−123∣\displaystyle \det(A)=|A|=\left|\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 2 &3\end{array}\right|det(A)=∣A∣=∣∣∣∣∣​12​−13​∣∣∣∣∣​ 矩阵表示方式：A=[295985]A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 95 \\ 98 & 5 \end{array}\right]A=[298​955​]、A=(295985)A=\begin{pmatrix} 2&95 \\ 98 &5 \end{pmatrix}A=(298​955​)，这两种表示方式都是一样的 矩阵的本质 假如英语系有98个女生，2个男生；机械系有95个男生，5个女生。那么矩阵表示就为 \begin{align}\left[\begin{array}{cc} 2 & 95 \\ 98 & 5 \end{array}\right]\end{align} 在这个数表中，我们可 ...

行列式等号上面如果存在以下符号表示特指 [x][x][x]：表示第xxx列 (x)(x)(x)：表示第xxx行 具体型行列式的计算 直接展开 方法总结： 某行（列）有最多的0元素 阶数不高（3、4阶） 例题 求出D4D_4D4​的值 \begin{align}D_{4}=\left|\begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right|\end{align} 首先我们按第一列进行展开，首先是第一行第一列消掉，然后提取出222来我们就可以得到下面的试子 \begin{align} 2\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right| \end{align} 其次是第二行第 ...

63f02df11a49a98b7bc29995e40c9f2a687ac860353ab8d847103596f26460ff569cc4975dc189611e890db578baa896ca03f6ed38d3daca188bd8a087c4c3b60f991e6756fc1ef131ca7b16b8b66e10cfd5c78a27e08466f896aa9385f327f0b348a640d931ed41c8df1fab0f2fd55a139fe4ed9a9b0e4e6e5e30fb66e34e12b88b87fb68f3ca7fc784c2da90f9de7b063f7e9ced26a0f6ffbc7621ed71fa2f20b83049410379f3cd201fbf0a132239abb1b6d2368d03376b92587782ea2062bddc727c5bfb1742d788bd5abdde3e078d589b26b937e669f9864ed570ed7565f29fe2450db38274f8e68f77bef525f14189624b702707f7b ...

向量 向量的定义 nnn个有序的数a1,a2,…,ana_{1},a_{2},\ldots,a_{n}a1​,a2​,…,an​所组成的数组称为nnn维向量，这nnn个数称为该向量的nnn个分量，第iii个数aia_{i}ai​称为第iii个分量。nnn维向量可写成一行，也可写成一列。nnn也称为该向量的维数。分别称为行向量和列向量: nnn维列向量： (a1a2⋮an)\left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}\end{array}\right)⎝⎜⎜⎜⎜⎛​a1​a2​⋮an​​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​ nnn维行向量： (a1,a2,…,an)或(a1a2⋯an)\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)\text{或}\left(\begin{array}{llll}a_{1}&a_{2}&\cdots&a_{n}\end{array}\right)(a1​,a2​,…,an​)或(a1​​a2​​⋯​an​​) 二维向量 2维向量u=(u1u2)\boldsym ...

二重积分概念与性质 概念 定义 设函数$z=f(x,y)$在有界闭区域$D$上有定义，将区域$D$任意分成$n$个小闭区域 \begin{align}\Delta\sigma_{1},\Delta\sigma_{2},\cdots,\Delta\sigma_{n}\end{align} 其中Δσi\Delta\sigma_{i}Δσi​表示第iii个小区域，也表示它的面积。在每个Δσi\Delta\sigma_{i}Δσi​上任取一点(ξi,ηi)\left(\xi_{i},\eta_{i}\right)(ξi​,ηi​)，作乘积f(ξi,ηi)Δσif\left(\xi_{i},\eta_{i}\right)\Delta\sigma_{i}f(ξi​,ηi​)Δσi​，并求和∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\sum_{i=1}^{n}f\left(\xi_{i},\eta_{i}\right)\Delta\sigma_{i}∑i=1n​f(ξi​,ηi​)Δσi​，记λ\lambdaλ为nnn个小区域Δσ1,Δσ2,⋯ ,Δσn\Delta\sigma_{1},\Delta ...

前置知识 偏导数 函数沿坐标轴方向的变化率 \begin{align} f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) & = \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x} \\ f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) & = \lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y} \end{align} 方向余弦 l⃗=(a,b)\vec{l}=(a, b)l=(a,b) 单位化 \begin{align} \vec{l} & =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}(a, b) \\ &= \left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} ...

一元向量值函数及其导数 一元向量值函数 由空间解析几何知道，空间曲线Γ\GammaΓ的参数方程为 \begin{align}\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t), \\y=\psi(t), \quad t \in[\alpha, \beta] \\z=\omega(t),\end{array}\right.\end{align} 方程也可以写成向量形式。若记 \begin{align}\vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}, \quad \vec{f}(t)=\varphi(t) \vec {i}+\psi(t) \vec{j}+\omega(t) \vec{k}\end{align} 则方程就成为向量方程 \begin{align}\vec{r}=\vec{f}(t), t \in[\alpha, \boldsymbol{\beta}] \end{align} 定义 设数集D⊂RD\subset\mathbf{R}D⊂R，则称映射f:D→Rnf:D\rightarrow\mathbf{R}^{n}f:D→Rn为 ...

隐函数的类型 一个方程情形 二元方程 设函数F(x,y)F(x,y)F(x,y)在点P(x0,y0)P\left(x_{0},y_{0}\right)P(x0​,y0​)的某一领域内具有连续偏导数，且 F(x0,y0)=0F(x_{0},y_{0})=0F(x0​,y0​)=0 Fy(x0,y0)≠0F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)\neq0Fy​(x0​,y0​)​=0 注：Fy≠0⟹y=y(x)F_y\neq0\Longrightarrow y=y(x)Fy​​=0⟹y=y(x)相应的Fx≠0⟹x=x(y)F_x\neq0\Longrightarrow x=x(y)Fx​​=0⟹x=x(y) 则方程F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0在点(x0,y0)\left(x_{0},y_{0}\right)(x0​,y0​)的某一领域内恒能唯一确定 一个连续且有连续偏导的函数y=y(x)y=y(x)y=y(x)，它满足y0=y(x0)y_{0}=y\left(x_{0}\right)y0​=y(x0​)，且 \begin{align ...

回顾 一元复合函数：y=f(φ(x))⇔y=f(u),u=φ(x)y=f(\varphi(x)) \Leftrightarrow y=f(u), u=\varphi(x)y=f(φ(x))⇔y=f(u),u=φ(x) 其求导有链式法则：dy dx=dy dudu dx\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} u} \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x} dxdy​= dudy​ dxdu​ 画出函数关系图：y→u→xy\rightarrow u\rightarrow xy→u→x，可见从yyy到x$$有一条路径,所以结果是1项的和，每一段路径（对应一个导数）乘起来。 全导数 一元函数与多元函数复合的情形 如果函数u=φ(t)u=\varphi(t)u=φ(t)及v=ψ(t)v=\psi(t)v=ψ(t)都在点ttt可导，函数z=f(u,v)z=f(u, v)z=f(u,v)在对应 点(u,v)(u, v)(u,v)具有连续偏导数，那么复合函数z=f[φ(t),ψ( ...

偏导数 函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在点x0,y0x_0,y_0x0​,y0​关于xxx的偏导数： \begin{align}f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) =\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x,y_0)\right|_{x=x_0}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x}\end{align} 关于yyy的偏导数为： \begin{align}f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}f(x_0,y)\right ...

平面点集 坐标平面 当在平面上引人了一个直角坐标系后，平面上的点PPP与有序二元实数组(x,y)(x,y)(x,y)之间就建立了一一对应。于是，我们常把有序实数组(x,y)(x,y)(x,y)与平面上的点PPP视作是等同的。这种建立了坐标系的平而称为坐标平面。二元有序实数组(x,y)(x,y)(x,y)的全体，R2=R×R={(x,y)∣x,y∈R}R^{2}=R \times R=\{(x, y) \mid x, y \in R\}R2=R×R={(x,y)∣x,y∈R}即就表示坐标平面。 from manim import *class NumberPlaneWithPoint(Scene): def construct(self): # 创建坐标系 axes = Axes( x_range=(-5, 5), y_range=(-5, 5), x_length=10, y_length=10, x_axis_config={ ...

空间平面与直线 空间平面及其方程 点法式方程 已知平面Π\PiΠ上一点M0(x0,y0,z0)M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)M0​(x0​,y0​,z0​)及与该平面垂直的非零向量n⃗=(A,B,C)\vec{n}=(A, B, C)n=(A,B,C)它称为该平面的法向量。法向量在这个平面上是无穷多个的 M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0)M0​(x0​,y0​,z0​)是平面Π\PiΠ上的一个定点， 且已知该平面的法向量n=(A,B,C)\mathbf{n} = (A, B, C)n=(A,B,C)，对于平面上任一点M(x,y,z)M(x, y, z)M(x,y,z)，由于向量M0M→=(x−x0,y−y0,z−z0)\overrightarrow{M_0M} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)M0​M​=(x−x0​,y−y0​,z−z0​)必与平面Π\PiΠ的法向量n\mathbf{n}n垂直，于是有M0M→⋅n=0\overrightarrow{M_0M} · \mathbf{n} ...

共有概念 概念：空间或者平面具有大小和方向的量 表示：AB→\overrightarrow{AB}AB或者a⃗\vec{a}a 膜长：平面或者空间中向量的大小。记作∣AB→∣|\overrightarrow{AB}|∣AB∣或者∣a⃗∣|\vec{a}|∣a∣ 特殊向量 单位向量 对于任意向量a⃗\vec{a}a，不论方向如何，若其大小为单位长度，则称其为a⃗\vec{a}a方向上的单位向量（Unit vector）。单位向量通常被记为u⃗\vec{u}u，它们的模长为1。 空间坐标系的三个基向量i⃗=(1,0,0){\displaystyle {\vec {i}}=(1,0,0)}i=(1,0,0)，j⃗=(0,1,0){\displaystyle {\vec {j}}=(0,1,0)}j​=(0,1,0)，k⃗=(0,0,1){\displaystyle {\vec {k}}=(0,0,1)}k=(0,0,1)都是单位向量。 反向量 一个向量v⃗\vec{v}v的反向量（Opposite vector）与它大小相等，但方向相反，一般记作−v⃗{\displaystyle -{\v ...

定积分 定义 设函数f(x)f(x)f(x)在[a,b][a,b][a,b]上有界，在[a,b][a,b][a,b]中任意插入若干个分点： \begin{align}a=x_0 < x_1 < \cdots < x_{i-1} < x_i < \cdots < x_{n-1} < x_n=b\end{align} 把[a,b][a,b][a,b]分成nnn个小区间： \begin{align}[x_0,x_1],\ \cdots,[x_{i-1},x_{i}],\ \cdots,\ [x_{n-1},x_n]\end{align} 各个小区间的长度依次为： \begin{align}\Delta x_1=x_1-x_0,\ \cdots,\ \Delta x_i=x_{i}-x_{i-1},\cdots,\ \Delta x_n=x_n-x_{n-1}\end{align} 在每个小区间[xi−1,xi][x_{i-1},x_i][xi−1​,xi​]上任取一点ξi(xi−1≤ξi≤xi)\xi_i(x_{i-1}\le\xi_i\le x_ ...

原函数与不定积分 定理就是一句话：连续函数一定有原函数 \begin{align} \int f(x)\mathrm{~d}x \end{align} 符号∫\int∫成为积分号，f(x)f(x)f(x)称为被积函数，f(x) dxf(x)\mathrm{~d}xf(x) dx称为被积表达式，xxx称为积分变量 基本积分表 表格内容 ∫k dx=kx+C\int k \mathrm{~d} x=k x+C \quad∫k dx=kx+C ∫xμ dx=xμ+1μ+1+C(μ≠−1)\int x^{\mu} \mathrm{~d} x=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C \quad(\mu \neq-1)∫xμ dx=μ+1xμ+1​+C(μ​=−1) ∫ dxx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{\mathrm{~d} x}{x}=\ln \mid x\mid+C∫x dx​=ln∣x∣+C ∫ dx1+x2=arctan⁡x+C\int \frac{\mathrm{~d} x}{1+x^{2}}=\arctan x+C∫1+x2 dx ...

函数的单调性 定理：设函数f(x)f(x)f(x)在[a,b]\left [a,b \right ][a,b]上连续，(a,b)\left (a,b\right)(a,b)内可导 若在(a,b)\left (a,b\right)(a,b)内f′(x)≥0{f}'(x)\ge0f′(x)≥0且等于0仅在有限点处成立，那么f(x)f(x)f(x)在[a,b]\left [a,b \right ][a,b]上严格单调增加 若在(a,b)\left (a,b\right)(a,b)内f′(x)≤0{f}'(x)\le 0f′(x)≤0且等于0仅在有限点处成立，那么f(x)f(x)f(x)在[a,b]\left [a,b \right ][a,b]上严格单调减少 判断函数单调性的步骤 确定定义域 求一阶导数，找到驻点（f′(x)=0{f}'(x)= 0f′(x)=0的点）和不可导的点 以这两类点划分定义区间，判断f′(x){f}'(x)f′(x)在各子区间内的符号，从而确定函数在各子区间的单调性。一般会列表分析 例题：讨论函数f(x)=13x3 ...

什么是泰勒公式 基本定义 泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。 设nnn是一个正整数。如果定义在一个包含aaa的区间上的函数fff在aaa点处n+1n+1n+1次可导，那么对于这个区间上的任意xxx都有: \begin{align} f(x)= & \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n !} (x-a)^{n} \\&=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+R_{n}(x)\end{align} f(n)(a)f^{(n)}(a)f(n)(a)表示f(x)f(x)f(x)在第nnn阶导数的表达式，带入一个值aaa计算后得到的结果（注意，它是个值） 1n!\frac{1}{n!}n!1​是一个系数（一个值），每一项都不同，第一项 11!\frac{1}{1!}1!1​，第二项12!\frac{1}{2!}2!1​依此类推 (x−a)n(x- ...

洛必达法则 对于分式f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}g(x)f(x)​，如果在自变量的某一变化过程中，分子分母的极限均为零或者均为无穷大，这时该分式的极限可能存在，也可能不存在，通常称这种分式的极限为未定式，分别记为00\frac{0}{0}00​和∞∞\frac{\infty}{\infty}∞∞​ 洛必达法则：在自变量xxx的某一个变化过程中x→a,x→a+,x→a−,x→∞,x→−∞,x→+∞x \to a , x \to a^+ , x \to a^- , x \to \infty , x \to -\infty , x \to + \inftyx→a,x→a+,x→a−,x→∞,x→−∞,x→+∞，设f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x) 满足下列条件： 函数f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)的极限均为0或者∞\infty∞ f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)均可导，既f′(x),g′(x){f}'(x),{g}'(x)f′(x),g′(x) 存在，且g′(x)≠0{g} ...

微积分中的基础概念 罗尔中值定理 前导 可以认为他从AAA点出发，经过一段时间又回到了AAA点，画成s−ts-ts−t（位移-时间）图就是： 根据常识，因为要回到起点，中间必定有速度为0的点，这就是罗尔中值定理 定理 设函数满足以下三个条件： f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续 f(x)f(x)f(x)在开区间(a,b)(a,b)(a,b)上可导 f(a)=f(b)f(a)=f(b)f(a)=f(b) 则存在ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0{f}'(\xi)=0f′(ξ)=0。 f(x)f(x)f(x)在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续是必须的，否则可能没有f′(ξ)=0{f}'(\xi)=0f′(ξ)=0 拉格朗日中值定理 前导 通过交通管理中的区间测速：位移➗时间＝平均速度。这样的话可以通过计算你走了一段固定距离的时间来计算你是否超速 时间aaa采集到汽车的位移为f(a)f(a)f(a)，时间bbb采集到汽车的位移为f(b)f(b)f(b) 可以据此算出平均速度 ...

极限 微商（即导数）是一种极限。定积分也是一种极限。 关于这一节推荐观看下面视频，讲的是非常的好 符号解释 ε\varepsilonε和δ\deltaδ都表示一个非常小的数，意义是一样的，只是为了让看起来显示不一样 ∀\forall∀取任意一个值 直观介绍 《庄子》曰：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”假设有一尺长的线段，每天划去一半，那么它的长度会变得如何呢？如果我们查看特定的某一天，比如说第7天，那么线段的长度还剩1128\frac{1}{128}1281​尺。但我们想知道的是，线段的长度“最终”会怎么样？用数学的语言来说，就是以下的数列： \begin{align} a_{0} = 1, \quad a_{1} = \frac{1}{2}, \quad a_{2} = \frac{1}{4}, \cdots, a_{n} = \frac{1}{2^{n}}, \cdots \end{align} 在nnn"非常大"的时候会有什么性质？为此我们可以建立以下的表格看看nnn"非常大"的时候，ana_nan​会是什么样子： nnn ...