微分中值定理

微积分中的基础概念

罗尔中值定理

前导

可以认为他从$A$点出发，经过一段时间又回到了$A$点，画成$s-t$（位移-时间）图就是：

根据常识，因为要回到起点，中间必定有速度为0的点，这就是罗尔中值定理

定理

设函数满足以下三个条件：

• $f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续
• $f(x)$在开区间$(a,b)$上可导
• $f(a)=f(b)$

则存在$\xi \in (a,b)$，使得${f}'(\xi)=0$。

$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续是必须的，否则可能没有${f}'(\xi)=0$

拉格朗日中值定理

前导

通过交通管理中的区间测速：位移➗时间＝平均速度。这样的话可以通过计算你走了一段固定距离的时间来计算你是否超速

时间$a$采集到汽车的位移为$f(a)$，时间$b$采集到汽车的位移为$f(b)$

可以据此算出平均速度为：

\begin{align} \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align}

比如算出来平均速度为$70km/h$，平均速度是由瞬时速度叠加的结果，那么路程中的瞬时速度可能为：

• 匀速前进：那么整个路程的瞬时速度必然全为$70km/h$
• 变速前进：整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于$70km/h$的情况

下面是变速前进的速度变换动画（蓝色为大于，闪烁为平行即等于，绿色为小于）：

如果限速$60km/h$，那么根据汽车的平均速度为$70km/h$，就可以判定路程中必然至少有一个点超速。

定理

设函数满足以下两个条件：

• $f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续
• $f(x)$在开区间$(a,b)$上可导

则存在$\xi \in (a,b)$，使得${f}'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

这个定理的几何意义就是，至少存在一点的切线与端点的连线平行；物理意义是，至少存在一点的速度与平均速度相等：

把它旋转一下，使得$f(a)=f(b)$，得到的就是罗尔中值定理，可见罗尔是拉格朗日的特例

柯西中值定理

前导

之前讨论的是一维空间中的运动，下面来看看二维空间中的运动（关于这点，可以参看课程中“参数方程求导与相关变化率”这一节）。假设参数方程：

\begin{align} \left\{\begin{array}{l} x = g(t) \\ y = f(t) \end{array}\right. \end{align}

描述了一个二维空间中的运动：

为了方便描述，令$A=(g(a), f(a))$、$B=(g(b), f(b))$，那么上图描述的就是$a$时刻在$A$位置，$b$时刻运动到了$B$位置。向量$a$就表明了最终的运动方向。仔细分析此运动过程，刚开始的时候，速度$v$的方向与$a$相反，也就是说点是反着走的：

所以需要不断转弯调整

最终才能到达目的地：

容易想象，在转弯调整的过程中，必然会有$v$和$a$同向的时刻，比如$t=\xi$时刻：

此时，$a$所在直线的斜率：

\begin{align}\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\end{align}

以及$v$所在直线的斜率（根据参数方程的求导法则）：

\begin{align}\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}\end{align}

必然相等：

\begin{align}\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}\end{align}

这就是柯西中值定理。

定理

设函数$f(x),g(x)$满足以下条件：

• $f(x),g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续
• $f(x),g(x)$在开区间$(a,b)$上可导
• $\forall x \in (a,b)$，有：${g}'(x) \ne 0$。

则存在$\xi \in (a,b)$，使等式$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}$成立

可以把$f(x),g(x)$组合成参数方程

\begin{align} \left\{\begin{array}{l} x = g(t) \\ y = f(t) \end{array}\right. \end{align}

这样柯西中值定理就有类似于拉格朗日中值定理一样的几何意义：

如果：

\begin{align} \left\{\begin{array}{l} x = x \\ y = f(x) \end{array}\right. \end{align}

那么柯西中值定理就变为了拉格朗日中值定理，所以拉格朗日又是柯西的特例。

总结

三大微分中值定理的联系与区别：