泰勒展开

什么是泰勒公式

基本定义

泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。

设$n$是一个正整数。如果定义在一个包含$a$的区间上的函数$f$在$a$点处$n+1$次可导，那么对于这个区间上的任意$x$都有:

\begin{align} f(x)= & \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n !} (x-a)^{n} \\&=f(a)+\frac{f^{\prime}(a)}{1 !}(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}+R_{n}(x)\end{align}

$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在第$n$阶导数的表达式，带入一个值$a$计算后得到的结果（注意，它是个值）

$\frac{1}{n!}$是一个系数（一个值），每一项都不同，第一项 $\frac{1}{1!}$，第二项$\frac{1}{2!}$依此类推

$(x-a)^n$是一个以$x$为自变量的表达式

$R_n(x)$是泰勒公式的余项，是$(x-a)^n$的高阶无穷小

泰勒级数、泰勒展开、麦克劳伦公式的区别

以上面的基本定义所示公式作为例子，未展开的公式叫做泰勒级数，而展开的叫做泰勒公式，为什么呢？因为泰勒级数就类比于无限小数，一直写下去，没完没了，所以足够精确，不需要加上$R_{n}(x)$来取代无法继续精确的余项

打个比喻：我问你圆周率是多少，你告诉我两个答案：第一个答案是$\pi$，第二个答案是3.14+a，其中a=0.0015926585897932384……。在这里，$\pi$就相当于泰勒级数，而3.14+a就是泰勒展开式，第二个答案中的a就是泰勒展开式中的余项

如果$a=0$的话，就是麦克劳伦公式。

怎样理解泰勒公式

我们要干的事情，就是改变多项式函数$P(x)=c_0+c_1x+c_2x^2$中$c0,c1,c2$的值

（只有三项是为图个方便）去近似余弦函数$f(x)=cos(x)$，【近似过程】参考下面的动图

我们需要做的事情（目的）即寻找一条绿色的曲线（多项式的系数$c0,c1,c2$），在$x=0$附近（0为上面提到的$a$）尽可能的与$f(x)=cos(x)$的图像相似（重合）

函数式角度

那如何才能找到这三个参数呢？最为显而易见的做法就是希望在$x=0$的位置，两个表达式的切线尽量相等，切线即斜率，也就是求导，比较抽象，一步一步来可视化一下

近似过程

• 【确定$c_0$】$x=0$带入公式，令$\cos(x)=1$，同理对$P(x)$可以得到$c_0=1$

  

• 【确定$c1$】容易观察到，如果对$P(x)$求导就可以把$c_1$前的自变量去掉。并且，$x=0$处$P(x)$已经固定为1，为了更进一步的相似，如果我们让$x=0$处的$f(x)$和$P(x)$的切线斜率也相同不就更近似了？（两种思考模式我觉得都可以） 求导之后可以的到$c_1=0$

  

• 【确定$c_2$】现在我们已经确定两个值，那么绿色曲线就只能如下图一样移动（固定了$x=0$的函数值和$x=0$处的斜率 ），为了更接近相似的目标，我们希望斜率在变化的过程中，速度也是近似的（滑动的白色和黄色直线）。求二次导数，斜率的变化率相等，确定$c_2=-\frac{1}{2}$

  

此时得到表达式$P(x)=1-\frac{1}{2}x^2$，检测一下近似度如何？$\cos(0.1)\approx 1-\frac{1}{2}(0.1)^2=0.995$同时计算器 $\cos(0.1)=0.9950042$，其实只取前几项的多项式已经在$x=a$附近的近似这一要求上有很好的效果了

为什么这个【近似过程】写的这么详细，是为了在过程中体会两个关键点

为什么使用多项式来近似

因为多项式的求导法则可以控制变量，消去低次项，使得$x=a$未知的$c_n$容易确定，在之前的例子里，如下图所示

$c_0$确保了$x=0$时相等，$c_1$确保了$x=0$时的斜率相等，$c_2$确保了$x=0$时斜率的变化率相等，或者说，随着多项式幂次变高，这种近似就越精确

为什么有个系数$\frac{1}{n!}$

阶层系数是由一次一次的求导产生的。我们再把项数加两个，参看下图，直观的感受一个$\frac{1}{n!}$的诞生

首先，低次项会变为0，这样可以很方便的通过计算$f(x)$的$n$次求导的表达式，带入$x=a$即可得到$c_n$的值，阶层其实是多次求导的系数

函数角度总结

• 首先，对于$\cos(x)$这个具体例子，把$x=0$位置的多阶导数求出，再使用多项式进行近似，使用的项越多，得到的近似就越准确，参看下面动图

  

• 推广到一般函数$f(x)$,下列动图描述了随着项的增加，$x=0$附近的越来越准确

  

• 最后，推广到$x=a$的情形，完全推导出泰勒展开式的一般形式，如下列动图所示

  

几何角度

首先定义一个函数表示求下列图像中函数图像中填满部分的面积，函数为$f(x)$，面积函数为 $f_{area}(x)$，而围成面积区域的曲线即为面积函数的导数$\frac{\mathrm{~d}f_{area}}{\mathrm{~d}x}(x)$（至于为什么是这样，有一个牛逼的名字叫做，微积分基本定理： $\int_{a}^{b} f(t)\mathrm{~d}t=F(b)-F(a)$，如下图所示

定义一个这样的场景是为了计算这样一件事（如下图所示）：假设我们知道了$f(a)$点的面积，往右扩展很小的距离$\mathrm{~d}x$要算出新部分的面积（左边绿色已知 + 黄色矩形 + 红色三角形），公式会是什么样的呢？

设$\mathrm{~d}t$开始点为$a$，终点为$x$，则可以得到

• 【黄色矩形】底边为$x-a$；高为$\frac{\mathrm{~d}f_{area}}{\mathrm{~d}x}(a)$；

• 【红色三角形】底边为$x-a$；高的计算稍微麻烦，首先，斜边的斜率是$\frac{\mathrm{~d}f_{area}}{\mathrm{~d}x}(x)$ 函数的导数在$x=a$时的函数值（算斜率，求导数即可），而斜率$k=\frac{y}{x}$，所以得到高为 $\frac{\mathrm{~d}f_{area}}{\mathrm{~d}x^2}(a)(x-a)$（前部分是斜率，后半部分是$x$，需要求的是$y$也是高）

• 【计算总面积】如下图和公式所示

  \begin{align} f_{\text {area }}(x) \approx f(a)+\frac{d f_{\text {area }}}{d x}(a)(x-a)+\frac{1}{2} \frac{d^{2} f_{\text {area }}}{d x^{2}}(a)(x-a)^{2} \end{align}

  

这个公式为啥这么眼熟呢？其实明显就是泰勒展开式的前3项，如果你还要打破沙锅问到底，第4项呢？你可以放大红色三角形，把函数曲线和面积之间的空白部分再次用多个更小的三角形填补，在积分工具的帮助下，可以得到三次项

从几何角度来看，再一次验证了，泰勒公式是近似的$x=a$附近的函数值这一直观理解

余项

我们知道，对泰勒公式来说，并没有办法完全逼近待求函数，所以无论如何到最后都会留一点东西，这剩下的东西不好表达，就全都丢到余项中

泰勒级数

完成对【泰勒公式】的理解后，需要对【级数 Series】这个概念进行一个推广，什么是【级数】呢？

在数学中，【级数】就是无限多项的和

在把泰勒展开式，扩展到无限项之后，就会出现【收敛 Converge】和【发散 diverge】的概念

收敛

收敛，即在泰勒展开式被推广到无限项之后，整体式子的值会越来越趋近于一个定值，比如下图的$\frac{1}{2}$和$e$

发散

与收敛相对应的，即发散，式子无法趋近于一个定值，比如$ln(x)$在$x=1$附近，如下图所示，虚线即为能够让多项式的和收敛的最大取之范围，称为【泰勒级数的收敛半径】

最后

用一张霉霉的图作为结尾