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共有概念

概念：空间或者平面具有大小和方向的量

表示：AB→\overrightarrow{AB}或者a⃗\vec{a}

膜长：平面或者空间中向量的大小。记作∣AB→∣|\overrightarrow{AB}|或者∣a⃗∣|\vec{a}|

特殊向量

单位向量

对于任意向量a⃗\vec{a}，不论方向如何，若其大小为单位长度，则称其为a⃗\vec{a}方向上的单位向量（Unit vector）。单位向量通常被记为u⃗\vec{u}，它们的模长为1。

空间坐标系的三个基向量i⃗=(1,0,0){\displaystyle {\vec {i}}=(1,0,0)}，j⃗=(0,1,0){\displaystyle {\vec {j}}=(0,1,0)}，k⃗=(0,0,1){\displaystyle {\vec {k}}=(0,0,1)}都是单位向量。

反向量

一个向量v⃗\vec{v}的反向量（Opposite vector）与它大小相等，但方向相反，一般记作−v⃗{\displaystyle -{\vec {v}}}。如果向量a⃗\vec{a}是向量b⃗\vec{b}的反向量，那么b⃗\vec{b}也是a⃗\vec{a}的反向量。

另外，向量a⃗\vec{a}的反向量也可按如下定义：

对于给定向量a⃗\vec{a}，若∃\exists向量b⃗\vec{b}，使得a⃗+b⃗=0⃗{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {0}}}成立，则向量b⃗\vec{b}称为向量a⃗\vec{a}的反向量。

零向量

始点与终点重合，即大小为0的向量，被称为零向量（Zero vector），记以数字0上加箭头。关于零向量有两点值得一提：

  1. 零向量依旧具有方向性，但方向不定。因此，零向量与任一向量平行。
  2. 零向量不等于数量00，它们是两种性质完全不同的对象，即0⃗≠0{\displaystyle {\vec {0}}\neq 0}。

零向量可以如下进行形式化定义：

给定一n维向量z⃗\vec{z}，若对于任意的同维向量a⃗\vec{a}，总有a⃗+z⃗=a⃗{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {z}}={\vec {a}}}成立，则向量z⃗\vec{z}称为n维零向量，通常被记作0⃗\vec{0}或0\mathbf{0}。

等向量

不论起点终点，两向量长度、方向相等，即为等向量或相等向量（Identical vector）。

对于任意向量a⃗\vec{a}，若其一个相等向量为b⃗\vec{b}，则对b⃗\vec{b}和数字-1进行数乘运算后得到的向量−b⃗{\displaystyle -{\vec {b}}}即a⃗\vec{a}的反向量。

另外，类似于反向量的定义，向量a⃗\vec{a}等向量也可按如下定义：

对于给定向量a⃗\vec{a}，若存在向量b⃗\vec{b}，使得{a⃗−b⃗=0⃗\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {0}}成立，则向量b⃗\vec{b}称为向量a⃗\vec{a}的相等向量。

方向向量

方向向量（Directional vector）的形式化定义如下：

对于任意向量a⃗\vec{a}，若存在一个向量b⃗\vec{b}，两者的方向相同（大小可以不同），则b⃗\vec{b}是a⃗\vec{a}的一个方向向量。

一般地，所有方向相同的向量之间互为方向向量。

平面向量

向量的性质

除了上面介绍的共有概念外

有向线段

undefined

一个以点A为起点，B为终点的有向线段。

有向线段的概念建构于向量的方向与长度，差别在于多定义了始点与终点。在文字描述时，如果已知某有向线段的起点和终点分别是A和B，此线段的长度可以记为∣AB→∣|\overrightarrow{AB}|

夹角

undefined

a→\overrightarrow{a}与b→\displaystyle {\overrightarrow {b}}具有夹角θ\theta

向量的夹角（Included angle）是对于两个向量而言的概念。对于任意两个给定的向量a⃗\vec{a}和b⃗\vec{b}，二者的夹角即将二者图示化后两箭头所夹之角θ\theta，其中0⩽θ⩽π0 \leqslant \theta \leqslant \pi。

向量的夹角可由数量积的定义导出计算公式，即：

\begin{align}{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\vec {a}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}|\cdot|{\vec {b}}|}}}\end{align}

线性运算

加法与减法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。具体地，两个向量a⃗\vec{a}和b⃗\vec{b}相加，得到的是另一个向量。这个向量可以表示为a⃗\vec{a}和b⃗\vec{b}的起点重合后，以它们为邻边构成的平行四边形的一条对角线（以共同的起点为起点的那一条，见下图左），或者表示为将a⃗\vec{a}的终点和b⃗\vec{b}的起点重合后，从a⃗\vec{a}的起点指向b⃗\vec{b}的终点的向量：

Vector_addition

两个向量a⃗\vec{a}和b⃗\vec{b}的相减，则可以看成是向量a⃗\vec{a}加上一个与b⃗\vec{b}大小相等，方向相反的向量。又或者，a⃗\vec{a}和b⃗\vec{b}的相减得到的向量可以表示为a⃗\vec{a}和b⃗\vec{b}的起点重合后，从b⃗\vec{b}的终点指向a⃗\vec{a}的终点的向量：

Vector_subtraction

向量的加法也满足交换律和结合律。

数乘

\begin{align}{\displaystyle 1{\vec {a}}={\vec {a}};\quad(-1){\vec {a}}=-{\vec {a}}}&\\{\displaystyle (\lambda \mu ){\vec {a}}=\lambda (\mu {\vec {a}})=\mu (\lambda {\vec {a}})}&\\{\displaystyle (\lambda +\mu ){\vec {a}}=\lambda {\vec {a}}+\mu {\vec {a}}}&\\{\displaystyle \lambda ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda {\vec {a}}+\lambda {\vec {b}}}\end{align}

向量的坐标表示

坐标分解

a⃗=(x1,y1),b⃗=(x2,y2)\vec{a}=(x_1, y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)

线性运算的坐标表示

\begin{align}&\vec{a}\pm \vec{b}=(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) \pm(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}) =(\mathrm{x}_{1} \pm \mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{1} \pm \mathrm{y}_{2})\\&\lambda(\mathrm{x}, \mathrm{y}) =(\lambda \mathrm{x}, \lambda \mathrm{y})\\&|\vec{a}|=|(x, y)|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\&\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}\\&\cos \langle\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\rangle=\frac{\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}}{|\overrightarrow{\mathrm{a}}||\overrightarrow{\mathrm{b}}|}=\frac{\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}}{\sqrt{\mathrm{x}_{1}^{2}+\mathrm{y}_{1}^{2}} \cdot \sqrt{\mathrm{x}_{2}^{2}+\mathrm{y}_{2}^{2}}}\end{align}

向量位置关系

\begin{align} &\vec{a} = \left(\mathrm{x}_{\mathrm{a}}, \mathrm{y}_{\mathrm{a}}\right) \\ &\overrightarrow{\mathrm{b}} = \left(\mathrm{x}_{\mathrm{b}}, \mathrm{y}_{\mathrm{b}}\right) \\& \overrightarrow{\mathrm{a}} / / \overrightarrow{\mathrm{b}} \Leftrightarrow \quad \mathrm{x}_{\mathrm{a}} \mathrm{y}_{\mathrm{b}} = \mathrm{x}_{\mathrm{b}} \mathrm{y}_{\mathrm{a}} \\& \overrightarrow{\mathrm{a}} \perp \overrightarrow{\mathrm{b}} \Leftrightarrow \mathrm{x}_{\mathrm{a}} \mathrm{x}_{\mathrm{b}}+\mathrm{y}_{\mathrm{b}} \mathrm{y}_{\mathrm{a}} = 0 \end{align}

空间向量

空间直角坐标系

一点：坐标原点oo

三轴：xx、yy、zz轴（横轴、纵轴、竖轴）

三个坐标平面：xoyxoy、yozyoz、zoxzox面

八卦限：I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII

Octant_numbers

空间中的点M1(x1,y1,z1)M_1(x_{1},y_{1},z_{1})和M2(x2,y2,z2)M_2(x_{2},y_{2},z_{2})之间的距离是距离为

\begin{align}{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}}\end{align}

线性运算

加法

在平面的基础上面新增

image-20230326215049142

数乘（与平面向量一致）

\begin{align}{\displaystyle 1{\vec {a}}={\vec {a}};\quad(-1){\vec {a}}=-{\vec {a}}}\\{\displaystyle (\lambda \mu ){\vec {a}}=\lambda (\mu {\vec {a}})=\mu (\lambda {\vec {a}})}\\{\displaystyle (\lambda +\mu ){\vec {a}}=\lambda {\vec {a}}+\mu {\vec {a}}}\\{\displaystyle \lambda ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda {\vec {a}}+\lambda {\vec {b}}}\end{align}

向量的坐标表示

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r⃗\vec{r}：起点OO，终点M(x,y,z)M(x,y,z)

推导向量的坐标表示（试子中的i⃗\vec{i}是单位向量，也就是1）：

\begin{align} \vec{r} & = \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NM}\\ & = \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR}\\&=x\vec{i}+y\vec{i}+z\vec{i}\\&=(x,y,z) \end{align}

例如：M1(1,1,2),M2(2,3,4)M_1(1,1,2),M_2(2,3,4)，则M1M2→=M2−M1=(2−1,3−1,4−2)=(1,2,2)\overrightarrow{M_1M_2}=M_2-M_1=(2-1,3-1,4-2)=(1,2,2)

设a⃗=(x1,y1,z1),b⃗=(x2,y2,z2)\vec{a}=(x_1,y_1,z_1),\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)，则：

\begin{align} &\vec{a}\pm \vec{b}=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2,z_1\pm z_2) \\ &\lambda \vec{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1,\lambda z_1)\end{align}

那么膜就是∣a⃗∣=x12+y12+z12|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}

向量平行的充要条件：设向量a⃗\vec{a}非零，这向量b⃗\vec{b}平行于向量a⃗\vec{a}的充要条件是：x2x1=y2y1=z2z1\frac{x_{2}}{x_{1}}=\frac{y_{2}}{y_{1}}=\frac{z_{2}}{z_{1}}

例题

已知点A(4,0,5),B(7,1,3)A(4,0,5), B(7,1,3)，求(1)AB→;(2)∣AB→∣;(3)eAB→⃗;(4)(1)\quad \overrightarrow{A B} \quad; (2)\quad |\overrightarrow{A B}|\quad; (3)\quad \vec{e_{\overrightarrow{A B}}}\quad;(4)\quad若b⃗=(6,λ,μ)\vec{b}=(6,\lambda,\mu )，且b⃗//AB→\vec{b}\mathop{//}\overrightarrow{AB}，求常数λ,μ\lambda,\mu
(1) AB→=(3,1,−2)\overrightarrow{A B}=(3,1,-2)

(2) ∣AB→∣=32+12+(−2)2=14|\overrightarrow{A B}|=\sqrt{3^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{14}

(3) 由于有公式为：eAB→⃗=AB→∣AB→∣\vec{e_{\overrightarrow{A B}}}=\frac{\overrightarrow{AB} }{|\overrightarrow{AB}|}，所以该题解法如下

e⃗AB→=114⋅(3,1,−2){\vec e_{\overrightarrow{A B}}}=\frac{1}{\sqrt{14 }} \cdot(3,1,-2)

(4) 根据上面的平行充要条件得出63=λ1=μ−2\frac{6}{3}=\frac{\lambda}{1}=\frac{\mu}{-2}，所以解得λ=2,μ=−4\lambda=2,\mu=-4

方向角和方向余弦

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定义：向量OM→=(x,y,z)\overrightarrow{O M}=(x, y, z)与xx轴、yy轴、zz轴正向的夹角α\alpha 、β\beta 、γ\gamma(其中0⩽α⩽π,0⩽β⩽π,0⩽γ⩽π0 \leqslant \alpha \leqslant \pi, 0 \leqslant \beta \leqslant \pi, 0 \leqslant \gamma \leqslant \pi) 叫向量 OM→\overrightarrow{O M}的方向角

方向角α,β,γ\alpha, \beta, \gamma的余弦cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma叫向量OM→\overrightarrow{O M}的方向余弦，由上图可知

\begin{align} \cos \alpha=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\ \cos \beta=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \\ \cos \gamma=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \end{align}

方向余弦具有如下性质:
(1) cos⁡2α+cos⁡2β+cos⁡2γ=1\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1
(2) e=(cos⁡α,cos⁡β,cos⁡γ)\boldsymbol{e}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)是一个与OM→\overrightarrow{O M}同向的单位向量.

例题

已知点M1(2,2,2)M_{1}(2,2, \sqrt{2})和M2(1,3,0)M_{2}(1,3,0), 求向量M1M2→\overrightarrow{M_{1} M_{2}}的模、方向余弦及方向角.

解M1M2→=(1−2,3−2,0−2)=(−1,1,−2)\overrightarrow{M_1M_2}=(1-2,3-2,0-\sqrt{2})=(-1,1,-\sqrt{2})

\begin{align} \left|\overrightarrow{M_{1} M_{2}}\right|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-\sqrt{2})^{2}}=2 \\ \cos \alpha=-\frac{1}{2}, \cos \beta=\frac{1}{2}, \cos \gamma=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \alpha=\frac{2 \pi}{3}, \beta=\frac{\pi}{3}, \gamma=\frac{3 \pi}{4} \end{align}

向量积

点乘，也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度，是一个标量。一般点乘用来判断两个向量是否垂直，因为比较好算。也可以用来计算一个向量在某个方向上的投影长度。

叉乘，也叫向量积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。叉乘更多的是判断某个平面的方向。

在数学和向量代数领域，叉积（英语：Cross product）又称向量积（英语：Vector product），是对三维空间中的两个向量的二元运算，使用符号×\times。与点积不同，它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量aa和bb，它们的叉积写作a×ba\times b，是aa和bb所在平面的法线向量，与aa和bb都垂直。

向量积是一个向量, 通常表示为a×b\mathbf{a} \times \boldsymbol{b}

  1. 它的模(即长度)为∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin⁡θ|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \sin \theta\qquad(θ\theta为向量a\mathbf{a}和b\mathbf{b}的夹角)
  2. 方向垂直于向量a\mathbf{a}和b\mathbf{b}, 且(a,b,a×b)(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \mathbf{a} \times \boldsymbol{b})构成右手系。

右手定则

代数性质

对于任意三个向量a\mathbf {a}、b\mathbf {b}、c\mathbf {c}

  • a×a=0{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {a} =\mathbf {0} }
  • a×0=0{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {0} =\mathbf {0} }
  • a×b=−b×a{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a} }
  • a×(b+c)=a×b+a×c{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c} }
  • (a+b)×c=a×c+b×c{\displaystyle (\mathbf {a} +\mathbf {b} )\times \mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {c} +\mathbf {b} \times \mathbf {c} }
  • (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb){\displaystyle (\lambda \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {a} \times (\lambda \mathbf {b} )}
  • a×b+c×d=(a−c)×(b−d)+a×d+c×b{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {c} \times \mathbf {d} =(\mathbf {a} -\mathbf {c} )\times (\mathbf {b} -\mathbf {d} )+\mathbf {a} \times \mathbf {d} +\mathbf {c} \times \mathbf {b} }
  • ∣a×b∣=∣b×a∣{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {b} \times \mathbf {a} |}
  • ∣a×b∣2=∣a∣2∣b∣2−(a⋅b)2=∣a⋅aa⋅ba⋅bb⋅b∣{\displaystyle |\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} \\\end{vmatrix}}}

计算

外积可以表达为这样的行列式：

a×b=∣ijkx1y1z1x2y2z2∣{\displaystyle \mathbf {a\times b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\\end{vmatrix}}}

使用拉普拉斯展开可以沿第一行展开为

a×b=∣y1z1y2z2∣i−∣x1z1x2z2∣j+∣x1y1x2y2∣k=(y1z2−z1y2)i−(x1z2−z1x2)j+(x1y2−y1x2)k=(y1z2−z1y2)i+(z1x2−x1z2)j+(x1y2−y1x2)k{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a\times b} &={\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}\\y_{2}&z_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}x_{1}&z_{1}\\x_{2}&z_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} \\&=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\mathbf {i} -(x_{1}z_{2}-z_{1}x_{2})\mathbf {j} +(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\mathbf {k} \\&=(y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\mathbf {i} +(z_{1}x_{2}-x_{1}z_{2})\mathbf {j} +(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\mathbf {k}\end{aligned}}}

都可以直接得到结果向量。

总结

平面向量：若a⃗=(x1,y1),b⃗=(x2.y2)\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2.y_2)

空间向量：若a⃗=(x1,y1,z1),b⃗=(x2.y2,z2)\vec{a}=(x_1,y_1,z_1),\vec{b}=(x_2.y_2,z_2)

向量表示 坐标表示（平面） 坐标表示（空间）
数量积 a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b}=\mid \vec{a}\mid \mid \vec{b}\mid \cos \theta a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a} \cdot \vec{b}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2} a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2\vec{a} \cdot \vec{b}=x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}
向量积 a⃗×b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡θ\vec{a} \times \vec{b}=\mid \vec{a}\mid \mid \vec{b}\mid \sin \theta 无 a⃗×b⃗=(y1z2−z1y2,z1x2−x1z2,x1y2−y1x2)\vec{a} \times \vec{b}=(y_1z_2-z_1y_2,z_1x_2-x_1z_2,x_1y_2-y_1x_2)
长度（膜） ∣a⃗∣=a⃗2\mid \vec{a}\mid =\sqrt{\vec{a}^2} ∣a⃗∣=x12+y12\mid \vec{a}\mid =\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} ∣a⃗∣=x12+y12+z12\mid \vec{a}\mid =\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}
夹角 cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\mid \vec{a}\mid \mid \vec{b}\mid } cos⁡θ=x1x2+y1y2x12+y12⋅x22+y22\cos \theta=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}} cos⁡θ=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12⋅x22+y22+z22\cos \theta=\frac{x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}}
平行 a⃗=λb⃗(b⃗≠0→)\vec{a}=\lambda \vec{b}(\vec{b} \neq \overrightarrow{0}) x1x2=y1y2(x2y2≠0)\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}(x_{2} y_{2} \neq 0) x1x2=y1y2=z1z2(x2y2z2≠0)\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{z_{1}}{z_{2}}(x_{2} y_{2} z_{2}\neq 0)
垂直 a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b}=0 x1x2+y1y2=0x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}=0 x1x2+y1y2+z1z2=0x_{1} x_{2}+y_{1} y_{2}+z_{1} z_{2}=0
加减法 a⃗±b⃗=b⃗±c⃗\vec{a}\pm \vec{b}=\vec{b}\pm \vec{c} a⃗±b⃗=(x1,y1)±(x2,y2)=(x1±x2,y1±y2)\vec{a}\pm \vec{b}=(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) \pm(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}) =(\mathrm{x}_{1} \pm \mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{1} \pm \mathrm{y}_{2}) a⃗±b⃗=(x1,y1,z1)±(x2,y2,z2)=(x1±x2,y1±y2,z1±z2)\vec{a}\pm \vec{b}=(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1},\mathrm{z}_{1}) \pm(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2},\mathrm{z}_{2}) =(\mathrm{x}_{1} \pm \mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{1} \pm \mathrm{y}_{2},\mathrm{z}_{1} \pm \mathrm{z}_{2})
乘法 a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗λ(a⃗+b⃗)=λa⃗+λb⃗a⃗(b⃗+c⃗)=a⃗b⃗+a⃗c⃗\vec{\mathrm{a}} \cdot \vec{\mathrm{b}}=\vec{\mathrm{b}} \cdot \vec{\mathrm{a}}\\{\displaystyle \lambda ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda {\vec {a}}+\lambda {\vec {b}}}\\{\vec{a} ({\vec {b}}+{\vec {c}})=\vec{a} {\vec {b}}+\vec{a} {\vec {c}}} 坐标带进去即可，同加减法带入方式 坐标带进去即可，同加减法带入方式
a⃗\vec{a}单位向量 e⃗a⃗=a⃗∣a⃗∣{\vec e_{\vec{a}}}=\frac{\vec{a} }{\mid \vec{a}\mid } (x1,y1)x12+y12=(x1x12+y12,y1x12+y12)\frac{(x_1,y_1)}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} }=(\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}},\frac{y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}) (x1,y1,z1)x12+y12+z12=(x1x12+y12+z12,y1x12+y12+z12,z1x12+y12+z12)\frac{(x_1,y_1,z_1)}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2} }=(\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}},\frac{y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}},\frac{z_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}})
a⃗×b⃗\vec{a}\times \vec{b}单位向量 e⃗a⃗×b⃗=a⃗×b⃗∣a⃗×b⃗∣{\vec e_{\vec{a}\times \vec{b}}}=\frac{\vec{a}\times \vec{b} }{\mid {\vec{a}\times \vec{b}}\mid } 运算方式如上 运算方式如上
b⃗\vec{b}在a⃗\vec{a}上的投影 prja⃗b⃗=ea⃗⃗⋅b⃗=b⃗⋅ea⃗⃗prj_{\vec{a}}\vec{b}=\vec{e_{\vec{a}}}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{e_{\vec{a}}} (x2,y2)⋅(x1,y1)x12+y12=(x2⋅x1x12+y12,y2⋅y1x12+y12)(x_2,y_2)\cdot\frac{(x_1,y_1)}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} }=(x_2\cdot \frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}},y_2\cdot \frac{y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}) 运算方式如左