空间几何及其方程

空间平面与直线

空间平面及其方程

点法式方程

已知平面$\Pi$上一点$M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$及与该平面垂直的非零向量$\vec{n}=(A, B, C)$它称为该平面的法向量。法向量在这个平面上是无穷多个的

$M_0(x_0, y_0, z_0)$是平面$\Pi$上的一个定点， 且已知该平面的法向量$\mathbf{n} = (A, B, C)$，对于平面上任一点$M(x, y, z)$，由于向量$\overrightarrow{M_0M} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0)$必与平面$\Pi$的法向量$\mathbf{n}$垂直，于是有$\overrightarrow{M_0M} · \mathbf{n} = 0$，即

\begin{align}A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0\end{align}

一般方程

将平面的点法式方程展开，我们就得到平面的一般式方程。任一平面的方程都是三元一次方程

\begin{align} A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right) & =0 \\ A x+B y+C z+\underbrace{\left(-A x_{0}-B y_{0}-C z_{0}\right)}_{D} & =0 \\ A x+B y+C z+D & =0 \end{align}

这里列出几个特殊的平面方程。

1. 当$D = 0$时，$Ax+By+Cz = 0$，原点$O(0, 0, 0)$的坐标满足此方程，表示过原点的平面。
2. 当$A = 0$时，平面$By+Cz+D=0$，法向量为$\vec n=(0, B,C)$，垂直于$x$轴， 所以该平面与$x$轴平行。
   当$B = 0$时，平面$Ax+Cz+D=0$，法向量为$\vec n=(A, 0,C)$，垂直于$y$轴， 所以该平面与$y$轴平行。
   当$C = 0$时，平面$Ax+By+D=0$，法向量为$\vec n=(A, B,0)$，垂直于$z$轴， 所以该平面与$z$轴平行。
3. 当$A = B = 0$时， 平面$Cz+D=0$，法向量为$\vec n=(0, 0,C)$在$x$轴和$y$轴上的投影都为零， 故与$x$轴和$y$轴都垂直， 即与$xOy$面垂直， 平面平行于$xOy$面
   $B = C = 0$平面$Ax + D = 0]$表示与$yOz$面平行
   $A = C = 0$平面$Bx + D = 0$表示与$zOx$面平行

平面与坐标轴位置关系	平面方程
过原点$(0,0,0)$	$D=0$
平行$x$轴	$A=0$
平行$y$轴	$B=0$
平行$z$轴	$C=0$
过$x$轴	$A=0,D=0$
过$y$轴	$B=0,D=0$
过$z$轴	$C=0,D=0$

截距式方程

平面的另一种表示形式是截距式方程，它表示出平面在三个坐标轴上的截距，对于作图会有帮助，平面的截距式方程也很容易改写成一般式方程。 a、b 和 c 叫作该平面的截距。

\begin{align} \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} & =1 \\ \frac{1}{a} x+\frac{1}{b} y+\frac{1}{c} z-1 & =0 \end{align}

两平面的夹角

两平面法向量的夹角 (常为锐角) 称为两平面的夹角。

设平面$\prod_{1}$的法向量为$\vec{n}_{1}=\left(A_{1}, B_{1}, C_{1}\right)$ ，平面$\prod_{2}$的法向量为$\vec{n}_{2}=\left(A_{2}, B_{2}, C_{2}\right)$

则两平面夹角$\theta$的余弦为

\begin{align}\cos \theta=\frac{\left|\mathbf{\vec n}_{\mathbf{1}} \cdot \mathbf{\vec n}_{\mathbf{2}}\right|}{\left|\mathbf{\vec n}_{\mathbf{1}}\right|\left|\mathbf{\vec n}_{\mathbf{2}}\right|}=\frac{\left|A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}\right|}{\sqrt{A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{2}^{2}} \sqrt{A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2}}}\end{align}

特殊的：

• $\prod_{1} \perp \prod_{2}$(两平面互相垂直) 的充要条件是

  $A_{1} A_{2}+B_{1} B_{2}+C_{1} C_{2}=0$

• $\prod_{1} / / \prod_{2}$(两平面互相平行) 的充要条件是

  $\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}$

• $\prod_{1}$与$\prod_{2}$重合的充要条件是

  $\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{B_{1}}{B_{2}}=\frac{C_{1}}{C_{2}}=\frac{D_{1}}{D_{2}}$

点到平面的距离

平面的一般方程：$A x+B y+C z+D =0$

点：$P(x_0,y_0,z_0)$

点到屏幕距离$d$的公式：

\begin{align}d=\frac{\left|Ax_0+By_0+Cz_0+D\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} }\end{align}

直线及其方程

一般方程

任一空间直线$L$都可以看作是两个相交平面的交线

若平面$\Pi_1$的方程为$A_1x +B_1y +C_1z +D_1 = 0$，平面 $\Pi_2$的方程为$A_2x +B_2y +C_2z +D_2 = 0$，则方程组

\begin{align}\begin{cases} A_1x +B_1y +C_1z +D_1 = 0 \\ A_2x +B_2y +C_2z +D_2 = 0 \end{cases}\end{align}

表示空间直线$L$的方程， 称为空间直线的一般方程。

参数式方程

方向向量的定义

设直线上$L$过点$M_0(x_0, y_0, z_0)$且与向量$\vec s = (l, m, n)$平行， 称$\vec s$为$L$的方向向量，$l,m,n$称为方向数。

下面求直线$L$的方程

设$M(x,y, z)$为直线$L$上任意一点， 则$\overrightarrow{M_0M} / / \mathbf{\vec s}$， 所以$\overrightarrow{M_0M} =t \mathbf{\vec s}$（t为实数），$(x-x_0,y-y_0,z-z_0)=t(l,m,n)$，则有直线的参数式方程

\begin{align}\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt\\ z = z_0 +nt\end{cases}\end{align}

对称式方程（点向式方程）

根据参数方程得出来

\begin{align}t=\frac{x - x_0}{l} =\frac{y - y_0}{m} =\frac{z-z_0}{n}\end{align}

所以下列方程就是直线$L$的对称方程或者$L$的点向式方程

\begin{align}\frac{x - x_0}{l} =\frac{y - y_0}{m} =\frac{z-z_0}{n}\end{align}

若有某个分母为零，应该理解为其相应的分子等于零。

比如：若$m=0$，则$y-y_0=0$，直线$L$的方程为两个平面的交线

\begin{align}\begin{cases}\frac{x - x_0}{l} =\frac{z-z_0}{n}\\y-y_0=0\end{cases}\end{align}

两直线的夹角

定义：两直线的方向向量的夹角称之为两直线的夹角。（锐角）

直线$L_{1}$：$\frac{x-x_{1}}{m_{1}}=\frac{y-y_{1}}{n_{1}}=\frac{z-z_{1}}{p_{1}}$

直线$L_{2}$：$\frac{x-x_{2}}{m_{2}}=\frac{y-y_{2}}{n_{2}}=\frac{z-z_{2}}{p_{2}}$

\begin{align}\cos \left(\widehat{L_{1}, L_{2}}\right)=\frac{\left|m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}+p_{1} p_{2}\right|}{\sqrt{m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}} \cdot \sqrt{m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}}\end{align}

两直线的位置关系

1. $l_1 / / l_2$时，$\frac{m_1}{m_2} =\frac{n_1}{n_2} =\frac{p_1}{p_2}$
2. $l_1\bot l_2$时， $m_1m_2 +n_1n_2 +p_1p_2 = 0$

直线与平面的夹角

直线$L$和它在平面$\pi$上的投影直线所构成的角称为该直线与平面的夹角， 记为

\begin{align}\varphi (0 ≤ \varphi < \frac{\pi} {2})\end{align}

当直线与平面垂直时， 规定$\varphi = \frac{\pi} {2}$

设直线$L:\frac{x - x_0}{0} =\frac{y - y_0}{n} =\frac{z-z_0}{p} ,\mathbf{s} = (m, n, p)$

平面$\Pi:Ax+By+Cz+D=0, \mathbf{n} = (A,B,C)$，则 $\varphi = |\frac{\pi} {2} -\widehat{(\mathbf{s},\mathbf{n})}|$

\begin{align}\sin \varphi = |\cos \widehat{(\mathbf{s}，\mathbf{n})}| = \frac{|Am + Bn + Cp|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \sqrt{m^2 + n^2 + p^2}}\end{align}

当 $L/ / \Pi$ 时，$\mathbf{\vec s \perp n }$， 即有$Am + Bn + Cp = 0$

当$L \perp \Pi$时，$\mathbf{\vec s / / n }$， 即有$\frac{A}{m} =\frac{B}{n} =\frac{C}{p}$

曲面与空间曲线

空间的曲面

曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等。

曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。

引例：求到两定点$A(1,2,3)$和$B(2,-1,4)$等距离的点的轨迹方程。

解：设轨迹上的动点为$M(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})$则$|A M|=|B M|$, 即

\begin{align}\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2} } =\sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}+(z-4)^{2}}\end{align}

化简得$2 x-6 y+2 z-7=0$

常见的曲面

球面

求动点到定点$M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$距离为$R$的轨迹方程。

解：设轨迹上动点为$M(x, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{z})$依题意$\left|M_{0} M\right|=R$，即

\begin{align}\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}=R\end{align}

故所求方程为$\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}=R^{2}$

特别地, 当$M_{0}$在原点时, 球面方程为

\begin{align}x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\end{align}

$z= \pm \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$表示上(下)球面

旋转曲面

一条平面曲线$C$绕同一平面上的一条定直线$L$旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面。平面曲线$C$称为旋转曲面的母线，定直线$L$称为该旋转曲面的旋转轴，简称为轴。下面只讨论母线位于某个坐标面上，且绕该坐标面的两条坐标轴旋转所形成的旋转曲面。

设在$yOz$面上有一已知曲线 $C:f (y, z) = 0$，这条曲线绕$z$轴旋转一周，就得到一个旋转曲面

在旋转曲面上任取一点$M(x, y, z)$，设这点是由母线$C$上的点$M1(0, y_1, z_1)$绕$z$轴旋转而得到的。由于点$M$与点$M_1$的竖坐标相同，且它们到轴的距离相等，所以有

$\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} z=z_{1} \\ \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\left|y_{1}\right| \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l} z_{1}=z \\ y_{1}= \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}} \end{array}\right. \end{array}$

又因为$M_{1}\left(0, y_{1}, z_{1}\right)$为曲线$\boldsymbol{C}$上任意一点，则有$f\left(y_{1}, z_{1}\right)=0$。代入上式得

\begin{align}f\left( \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)=0\end{align}

同理，$x O y$面上的曲线$f(x, y)=0$绕$x$轴或$y$轴旋转一周所得的旋转曲面方程分别为

$f\left(x, \pm \sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)=0$或$f\left( \pm \sqrt{x^{2}+z^{2}}, y\right)=0$

$x O z$面上的曲线$f(x, z)=0$绕$x$轴或$z$轴旋转一周, 所得的旋转曲面方程分别为

$f\left(x, \pm \sqrt{y^{2}+z^{2}}\right)=0$或$f\left( \pm \sqrt{x^{2}+y^{2}}, z\right)=0$

绕哪个轴转，哪个量不变，另外一个量用其余两坐标平方和的平方根表示

例题：已知$yOz$面上一直线的方程为$y = z\tan\alpha$，其中$\alpha$为直线与$z$轴的夹角，求该直线绕$z$轴旋转一周所成旋转曲面的方程。

只要把直线方程$y =z \tan\alpha$中的$y$换成$\pm \sqrt{x^2+y^2 }$就得到所求旋转曲面方程，即 $\pm \sqrt{x^2+y^2 }=z\tan\alpha$

柱面

一动直线$L$沿定曲线$C$作平行移动，所形成的曲面称为柱面。定曲线$C$称为柱面的准线，动直线$L$称为柱面的母线

如果柱面的准线是$xOy$面上的曲线$C:f (x, y) = 0$，母线平行于$z$轴，则该柱面的方程为$f (x, y) = 0$

二次曲面

若$F(x,y,z)=0$为$x,y,z$的二次方程，则此方程确定的曲面为二次曲面

椭球面

$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2}=1$（$a,b,c$为正常数）所确定

单叶双曲面

$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} -\frac{z^2}{c^2}=1$（$a,b,c$为正常数）所确定

双叶双曲面

$\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} +\frac{z^2}{c^2}=-1$（$a,b,c$为正常数）所确定

椭圆抛物面

$z=\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}$($p$与$q$同号)

双曲抛物面

$z=-\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q}$($p$与$q$同号)