多元函数的基本概念

平面点集

坐标平面

当在平面上引人了一个直角坐标系后，平面上的点$P$与有序二元实数组$(x,y)$之间就建立了一一对应。于是，我们常把有序实数组$(x,y)$与平面上的点$P$视作是等同的。这种建立了坐标系的平而称为坐标平面。二元有序实数组$(x,y)$的全体，$R^{2}=R \times R=\{(x, y) \mid x, y \in R\}$即就表示坐标平面。

from manim import *

class NumberPlaneWithPoint(Scene):
    def construct(self):
        # 创建坐标系
        axes = Axes(
            x_range=(-5, 5),
            y_range=(-5, 5),
            x_length=10,
            y_length=10,
            x_axis_config={
                "include_numbers": True,
                "numbers_to_include": [-4, -2, 2, 4],
                "color": BLUE,
            },
            y_axis_config={
                "include_numbers": True,
                "numbers_to_include": [-4, -2, 2, 4],
                "color": BLUE,
            },
            tips=False,
        )

        # 创建点P
        x = 2
        y = 3
        point = Dot(axes.c2p(x, y), color=RED)
        label = MathTex(f"P=({x}, {y})").next_to(point, DOWN)

        self.add(axes)
        self.play(Create(point), Write(label))
        self.wait()

下图的点请脑补为$P=(x,y)$

平面点集

坐标平面上具有某种性质$P$的点的集合，称为平面点集。

例如，平面上以原点为中心，$r$为半径的圆内所有点的集合是

\begin{align}C=\{(x,y)|x^2+y^2<r^2\}\end{align}

领域

设$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$是$x O y$平面上的一个点，是某一正数。与点$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$距离小于$\delta$的点$P(x, y)$的全体，称为点 $P_{0}$的$\delta$邻域，记作$U\left(P_{0}, \delta\right)$，即

\begin{align}U\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{P|\mid P P_{0} \mid<\delta\right\}\end{align}

也就是

\begin{align}U\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{(x, y) \mid \sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}<\delta\right\}\end{align}

点$P_{0}$的去心$\delta$邻域，记作$\stackrel{\circ}{U}\left(P_{0}, \delta\right)$，即

\begin{align}\stackrel{\circ}{U}\left(P_{0}, \delta\right)=\left\{P|0<| P P_{0} \mid<\delta\right\}\end{align}

在几何上，$U\left(P_{0}, \delta\right)$就是$xOy$平面上以点$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$为中心，$\delta>0$为半径的圆内部点$P(x, y)$的全体

点集直接的关系

任意一点$P\in R^{2}$与任意一个点集$E\subset R^{2}$之间必有以下三种关系中的一种：

1. 内点：如果存在点$P$的某个邻域$U(P)$，使得$U(P)\subset E$,那么称$P$为$E$的内点

2. 外点：如果存在点$P$的某个邻域$U(P)$，使得$U(P)\cap E=\varnothing$，那么称$P$为$E$的外点

3. 边界点：如果点$P$的任一邻域内既含有属于$E$的点，又含有不属于$E$的点,那么称$P$为$E$的边界点

4. 聚点:如果对于任意给定的$\delta>0$，点$P$的去心邻域$\stackrel{\circ}{U}(P,\delta)$内总有$E$中的点,那么称$P$是$E$的聚点。

   由聚点的定义可知，点集$E$的聚点$P$本身，可以属于$E$，也可以不属于$E$。

   例如，设平面点集

   \begin{align}E=\left\{(x,y)\mid1<x^{2}+y^{2}\leqslant2\right\}\end{align}

   

   满足$1<x^{2}+y^{2}<2$的一切点$(x,y)$都是$E$的内点；满足$x^{2}+y^{2}=1$的一切点$(x,y)$都是$E$的边界点,它们都不属于$E$；满足$x^{2}+y^{2}=2$的一切点$(x,y)$也是$E$的边界点,它们都属于$E$；点集$E$以及它的边界$\partial E$上的一切点都是$E$的聚点。

$E$的边界点的全体，称为$E$的边界，记作$\partial E$

开集与闭集

虚线表示不属于该点集，实现表示属于该点集

如果点集$E$的点都是内点，那么称$E$为开集

如果点集$E$的边界点都属于$E$，则称$E$为闭集

连通集

如果点集$E$内任意两点都可用折线链接起来，且该折线上的点都属于$E$，则称$E$为连通集

非连通集

开区域与闭区域

连通的开集称为开区域或者闭区域

开区域连同它的边界一起构成的点集称为闭区域

相关关系解释

多远函数的概念

二元函数

例子：圆柱体的体积$V$和它的底半径$r$、高$h$之间具有关系

$V=\pi r^{2}h$

这里，当$r$和$h$在集合$\{(r,h)|r>0,h>0\}$内取定一对值$\left(r,h\right)$时，$V$的对应值就随之确定，那么由该例子可以得到定义

定义：设$D$是$R^2$的一个非空子集，称$f:D\to\mathbf{R}$映射为定义在$D$上的二元函数，通常记为$z=f\left(x,y\right),\left(x,y\right)\in D$

或

\begin{align}z=f(P),P\in D\end{align}

其中点集$D$称为该函数的定义域，$x$和$y$称为自变量，$z$称为因变量

值域为

\begin{align}f(D)=\{z|z=f(x,y),(x,y)\in D\}\end{align}

N元函数

把二元函数的定义套上来即可得到n元函数的公式

\begin{align}u=f(x_1,x_2,\cdots,x_n),(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in D\end{align}

或者简记为

\begin{align}u=f(\boldsymbol{x}),\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{x}_1,x_2,\cdots,x_n)\in D\end{align}

也可以记为

\begin{align}u=f(P),P(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in D\end{align}

二元函数的极限

设二元函数$f(x,y)$的定义域为$D$，$P_0(x_0,y_0)$，对于任意给定的正数$\epsilon$，总存在正数$\delta$，使得当点$P(x,y)$满足下列条件时：

\begin{align}(x,y)\in D\cap \mathring{U}(P_0,\delta)\end{align}

都有：

\begin{align}|f(x,y)-L| < \epsilon\end{align}

成立，那么就称常数$L$为函数$f(x,y)$当$(x,y)\to(x_0,y_0)$时的极限，记作：

\begin{align}\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=L\quad or \quad f(x,y)\to L\ \big(\ (x,y)\to(x_0,y_0)\ \big)\end{align}

因为这是二元函数的极限，所以也称作二重极限。

例题：求$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,2)}\frac{\sin(x y)}{x}\quad$

\begin{align}\lim_{(x,y)\rightarrow(0,2)}\frac{\sin(x y)}{x}\quad&\\=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,2)} \frac{\sin(x y)}{x y} \cdot y&\\=\lim_{x y\to0}\frac{\sin(x y)}{x y}\cdot\lim_{y\to2}y&\\=1\cdot 2=2\end{align}

二元函数的连续性

设二元函数$f(x,y)$的定义域为$D$，$P_0(x_0,y_0)$是的聚$D$点

• 连续

  \begin{align}P_0\in D \ \ \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)\end{align}

  那么称函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。

• 间断

  如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$不连续，那么称$P_0(x_0,y_0)$为函数$f(x,y)$的间断点