隐函数求导

隐函数的类型

一个方程情形

二元方程

设函数 $F(x,y)$ 在点 $P\left(x_{0},y_{0}\right)$ 的某一领域内具有连续偏导数，且

$F(x_{0},y_{0})=0$
$F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)\neq0$

注： $F_y\neq0\Longrightarrow y=y(x)$ 相应的 $F_x\neq0\Longrightarrow x=x(y)$

则方程 $F(x,y)=0$ 在点 $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 的某一领域内恒能唯一确定

一个连续且有连续偏导的函数 $y=y(x)$ ，它满足 $y_{0}=y\left(x_{0}\right)$ ，且

$\begin{align}\frac{dy}{dx}=-\frac{F_{x}}{F_{y}}\end{align}$

$F_x,F_y$ 指的是二元函数 $F(x,y)$ 对 $x,y$ 的偏导数

例题

三元函数

设函数 $F(x,y,z)$ 在点 $P\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ 的某一领域内具有连缘偏导数，且

$F(x_{0},y_{0},z_{0})=0$
$F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})\neq0$

注： $F_z\neq0\Longrightarrow z=z(x,y)$ 相应的 $F_x\neq0\Longrightarrow x=x(y,z)$ 同理 $F_y\neq0\Longrightarrow y=y(z,x)$

则方程 $F(x,y,z)=0$ 在点 $P$ 的某一领域中恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z=z(x,y)$ ，满足 $z_{0}=z(x_{0},y_{0})$ 且

$\begin{align}&\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}\\&\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{z}}\end{align}$

例题

已知设 $^{2}+y^{2}+z^{2}-4z=0$ ，求 $\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}$

设 $F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-4z$ ，则 $F_{x}=2x,F_{y}=2y,F_{z}=2z-4$ 。当 $z\neq2$ 时，应得

$\begin{align}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}=\frac{x}{2-z}\end{align}$

再一次对 $x$ 求偏导数（需要把 $z$ 看做 $z(x,y)$ ，不要把 $z$ 看做常数），得

$\begin{align}\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}=\frac{(2-z)+x\frac{\partial z}{\partial x}}{(2-z)^{2}}=\frac{(2-z)+x\left(\frac{x}{2-z}\right)}{(2-z)^{2}}=\frac{(2-z)^{2}+x^{2}}{(2-z)^{3}}\end{align}$

方程组情形

四元方程组

设 $F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)$ 在点 $P(x_{0},y_{0},u_{0},v_{0})$ 的某一领域内具有对各个变量的连续偏导数且

$F\left(x_{0},y_{0},u_{0},v_{0}\right)=0,G\left(x_{0},y_{0},u_{0},v_{0}\right)=0$
$F,G$ 对 $u,v$ 的雅可比（Jacobi）行列式在 $P$ 处不为0

$\begin{align}J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}=\left|\begin{array}{ll}F_{u}&F_{v}\\G_{u}&G_v\end{array}\right|\neq0\end{align}$

则方程组 $F(x,y,u,v)=0,G(x,y,u,v)=0$ 在 $P$ 的某领域内能唯一确定一组连续且有连续偏导数的函数 $u=u(x,y),v=v(x,y)$ ，满足 $u_{0}=u\left(x_{0},y_{0}\right),v_{0}=v\left(x_{0},y_{0}\right)$ 且

$\begin{align}&\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(x, v)}=-\frac{\left|\begin{array}{ll}F_{x} & F_{v} \\G_{x}&G_{v}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}F_{u} & F_{v} \\G_{u} & G_{v}\end{array}\right|}\\&\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, x)} \\&\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(y, v)}\\& \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J} \frac{\partial(F, G)}{\partial(u, y)} \end{align}$

例题

设 $xu-yv=0,yu+xv=1$ ，求 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial y}$

将所给方程的两边对 $x$ 求导并移项，得

$\begin{align}\{\begin{array}{l} x \frac{\partial u}{\partial x}-y \frac{\partial v}{\partial x}=-u \\ y \frac{\partial u}{\partial x}+x \frac{\partial v}{\partial x}=-v \end{array}\end{align}$

在 $J=\left|\begin{array}{rr}x & -y \\ y & x\end{array}\right|=x^{2}+y^{2} \neq 0$ 的条件下

$\begin{align}\begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\left|\begin{array}{rr} -u & -y \\ -v & x \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{rr} x & -y \\ y & x \end{array}\right|}=-\frac{x u+y v}{x^{2}+y^{2}} \\ \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\left|\begin{array}{rr} x & -u \\ y & -v \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{rr} x & -y \\ y & x \end{array}\right|}=\frac{y u-x v}{x^{2}+y^{2}} \end{array}\end{align}$

将所给方程的两边对 $y$ 求导。用同样方法在 $J=x^{2}+y^{2} \neq 0$ 的条件下可得