方向导数、梯度与多元函数的极致与最值

前置知识

偏导数

函数沿坐标轴方向的变化率

$\begin{align} f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) & = \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x} \\ f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) & = \lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y} \end{align}$

方向余弦

$\vec{l}=(a, b)$

单位化

$\begin{align} \vec{l} & =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}(a, b) \\ &= \left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right) \\ & =(\cos \alpha, \cos \beta) \end{align}$

方向导数

对于二元函数（平面）

设 $l$ 是 $xOy$ 平面上以 $P_{0}\left(x_{0},y_{0}\right)$ 为始点的一条射线， $\boldsymbol{e}_{l}=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 是与 $l$ 同方向的单位向量，射线 $\vec{l}$ 的参数方程为

$\begin{align}\left\{\begin{array}{l}x=x_{0}+t\cos\alpha\\y=y_{0}+t\cos\beta\end{array}(t\geqslant0)\right.\end{align}$

定理：如果函数 $f(x,y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0},y_{0}\right)$ 可微分，那么函数在该点沿任一方向l的方向导数存在，且有

$\begin{align}\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0},y_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)\cos\alpha+f_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)\cos\beta\end{align}$

其中 $\cos\alpha$ 和 $\cos\beta$ 是方向 $\vec{l}$ 的方向余弦，公式如下

$\begin{align} \vec{l} & =\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}(a, b) \\ &= \left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right) \\ & =(\cos \alpha, \cos \beta) \end{align}$

如下图所示，点 $p$ 位置处红色箭头方向的方向导数为黑色切线的斜率，来自链接Directional Derivative 文件备份

例题

求函数 $z=x\mathrm{e}^{2y}$ 在点 $P(1,0)$ 处沿从点 $P(1,0)$ 到点 $Q(2,-1)$ 的方向的方向导数

这里方向 $\vec{l}$ 即向量 $\overrightarrow{PQ}=(1,-1)$ 的方向，与 $\vec{l}$ 同向的单位向量为 $\vec{\boldsymbol{e}}_{l}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

因为函数可微分

$\begin{align}\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,0)}=\left.\mathrm{e}^{2y}\right|_{(1,0)}=1,\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,0)}=\left.2x\mathrm{e}^{2y}\right|_{(1,0)}=2\end{align}$

故所求方向导数为

$\begin{align}\left.\frac{\partial z}{\partial l}\right|_{(1,0)}=1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+2\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{align}$

对于三元函数（空间）

对于三元函数 $f(x,y,z)$ 来说,它在空间一点 $P_{0}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ 沿方向 $\vec{\boldsymbol{e}}_{l}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 的方向导数为

$\begin{align}\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}=\lim_{t\rightarrow0^{+}}\frac{f\left(x_{0}+t\cos\alpha,y_{0}+t\cos\beta,z_{0}+t\cos\gamma\right)-f\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}{t}\end{align}$

同样可以证明:如果函数 $f(x,y,z)$ 在点 $\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ 可微分,那么函数在该点沿着方向 $\vec{\boldsymbol{e}}_{l}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 的方向导数为

$\begin{align}\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}=f_{x}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\cos\alpha+f_{y}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\cos\beta+f_{z}\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)\cos\gamma\end{align}$

例题

求 $f(x,y,z)=xy+yz+zx$ 在点 $(1,1,2)$ 沿方向 $l$ 的方向导数，其中 $\vec{l}$ 的方向角分别为 $60^{\circ},45^{\circ},60^{\circ}$

解与 $\vec{l}$ 同向的单位向量

$\begin{align}\vec{\boldsymbol{e}}_{l}=\left(\cos60^{\circ},\cos45^{\circ},\cos60^{\circ}\right)=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)\end{align}$

因为函数可微分，且

$\begin{align} f_{x}(1,1,2)=\left.(y+z)\right|_{(1,1,2)}=3\\ f_{y}(1,1,2)=\left.(x+z)\right|_{(1,1,2)}=3\\ f_{z}(1,1,2)=\left.(y+x)\right|_{(1,1,2)}=2 \end{align}$

由公式得

$\begin{align}\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(1,1,2)}=3\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+2\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(5+3\sqrt{2})\end{align}$

梯度

在二元函数的情形，设函数 $f(x,y)$ 在平面区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 $P_{0}\left(x_{0},y_{0}\right)\in D$ ，都可定出一个向量

$\begin{align}f_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)\vec{\boldsymbol i} +f_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)\vec{\boldsymbol{j}}\end{align}$

这向量称为函数 $f(x,y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0},y_{0}\right)$ 的梯度，记作 $\operatorname{grad}f\left(x_{0},y_{0}\right)$ 或 $\nabla f\left(x_{0},y_{0}\right)$

$\begin{align}\operatorname{grad}f\left(x_{0},y_{0}\right)=\nabla f\left(x_{0},y_{0}\right)=f_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)\vec{\boldsymbol{i}}+f_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)\vec{\boldsymbol{j}}\end{align}$

如果函数 $f(x,y)$ 在点 $P_{0}\left(x_{0},y_{0}\right)$ 可微分， $\vec{\boldsymbol{e}}_{l}=(\cos\alpha,\cos\beta)$ 是与方向l同向的单位向量，那么

$\begin{align} \left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0},y_{0}\right)}&=f_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)\cos\alpha+f_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)\cos\beta\\ &=\operatorname{grad}f\left(x_{0},y_{0}\right)\cdot\vec{\boldsymbol{e}}_{l}=\left|\operatorname{grad}f\left(x_{0},y_{0}\right)\right|\cos\theta \end{align}$

其中 $\theta=\left(\operatorname{grad}f\left(x_{0},y_{0}\right),\vec{\boldsymbol{e}}_{l}\right)$ 的夹角

（1）当 $\theta=0$ ，即方向 $\vec{\boldsymbol{e}}_{t}$ 与梯度 $\operatorname{grad}f\left(x_{0},y_{0}\right)$ 的方向相同时，函数 $f(x,y)$ 增加最快。此时，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度 $\operatorname{grad}f\left(x_{0},y_{0}\right)$ 的模，即

$\begin{align}\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0},y_{0}\right)}=\left|\operatorname{grad}f\left(x_{0},y_{0}\right)\right|\end{align}$

这个结果也表示:函数 $f(x,y)$ 在一点的梯度 $\operatorname{grad}f$ 是这样一个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值

（2）当 $\theta=\pi$ ，即方向 $\vec{\boldsymbol{e}}_{t}$ 与梯度 $\operatorname{grad}f\left(x_{0},y_{0}\right)$ 的方向相反时，函数 $f(x,y)$ 减少最快，函数在这个方向的方向导数达到最小值，即

$\begin{align}\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0},y_{0}\right)}=-\left|\operatorname{grad}f\left(x_{0},y_{0}\right)\right|\end{align}$

（3）当 $\theta=\frac{\pi}{2}$ ，即方向 $\vec{\boldsymbol{e}}_{t}$ 与梯度 $\operatorname{grad}f\left(x_{0},y_{0}\right)$ 的方向正交时，函数的变化率为零，即

$\begin{align}\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_{0},y_{0}\right)}=\left|\operatorname{grad}f\left(x_{0},y_{0}\right)\right|\cos\theta=0\end{align}$

例题

求 $\operatorname{grad}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$

解这里 $f(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}$ 因为

$\begin{align}\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{2x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}},\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{2y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\end{align}$

所以

$\begin{align}\operatorname{grad}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}=-\frac{2x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\vec{\boldsymbol{i}}-\frac{2y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\vec{\boldsymbol{j}}\end{align}$

设 $f(x,y)=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right),P_{0}(1,1)$ ，求
（1） $f(x,y)$ 在 $P_{0}$ 处增加最快的方向以及 $f(x,y)$ 沿这个方向的方向导数
（2） $f(x,y)$ 在 $P_{0}$ 处减少最快的方向以及 $f(x,y)$ 沿这个方向的方向导数
（3） $f(x,y)$ 在 $P_{0}$ 处的变化率为零的方向

（1） $f(x,y)$ 在 $P_{0}$ 处沿 $\nabla f(1,1)$ 的方向增加最快

$\begin{align}\nabla f(1,1)=\left.(x \vec{\boldsymbol{i}}+y\vec{\boldsymbol{j}})\right|_{(1,1)}=\vec{\boldsymbol{i}}+\vec{\boldsymbol{j}}\end{align}$

故所求方向可取为

$\begin{align}\boldsymbol{n}=\frac{\nabla f(1,1)}{|\nabla f(1,1)|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{\boldsymbol{i}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{\boldsymbol{j}}\end{align}$

方向导数为

$\begin{align}\left.\frac{\partial f}{\partial n}\right|_{(1,1)}=|\nabla f(1,1)|=\sqrt{2}\end{align}$

（2） $f(x,y)$ 在 $P_{0}$ 处沿 $-\nabla f(1,1)$ 的方向减少最快，这方向可取为

$\begin{align}n_{1}=-n=-\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{\boldsymbol{i}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{\boldsymbol{j}}\end{align}$

方向导数为

$\begin{align}\left.\frac{\partial f}{\partial n_{1}}\right|_{(1,1)}=-|\nabla f(1,1)|=-\sqrt{2}\end{align}$

（3） $f(x,y)$ 在 $P_{0}$ 处沿垂直于 $\nabla f(1,1)$ 的方向变化率为零，这方向是

$\begin{align}&\boldsymbol{n}_{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{\boldsymbol{i}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{\boldsymbol{j}}\\&\boldsymbol{n}_{3}=\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{\boldsymbol{i}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\vec{\boldsymbol{j}}\end{align}$

设 $f(x,y,z)=x^{3}-xy^{2}-z,P_{0}(1,1,0)$ ，问 $f(x,y,z)$ 在 $P_{0}$ 处沿什么方向变化最快，在这个方向的变化率是多少？

$\nabla f=f_{x}\vec{\boldsymbol{i}}+f_{y}\vec{\boldsymbol{j}}+f_{z}\boldsymbol{k}=\left(3x^{2}-y^{2}\right)\vec{\boldsymbol{i}}-2xy\vec{\boldsymbol{j}}-\boldsymbol{k},\nabla f(1,1,0)=2\vec{\boldsymbol{i}}-2\vec{\boldsymbol{j}}-\boldsymbol{k}$
$f(x,y,z)$ 在 $P_{0}$ 处沿 $\nabla f(1,1,0)$ 的方向增加最快，沿 $-\nabla f(1,1,0)$ 的方向减少最快，在这两个方向的变化率分别是

$\begin{align} |\nabla f(1,1,0)|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+1}=3\\ -|\nabla f(1,1,0)|=-3 \end{align}$

多元函数的极致与最值

无约束极值

定义设函数$z=f(x,y)$在点$P\left(x_{0},y_{0}\right)$的某邻域内有定义，若对该邻域内任意的点$P(x,y)$均有

$\begin{align}f(x,y)\leqslant f\left(x_{0},y_{0}\right)\quad or\quad f(x,y)\geqslant f\left(x_{0},y_{0}\right)\end{align}$

则称 $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 为 $f(x,y)$ 的极大值点(或极小值点)；称 $f\left(x_{0},y_{0}\right)$ 为 $f(x,y)$ 的极大值(或极小值)。极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值。

二阶导数的正负可以决定函数凹凸性， $f''(x) > 0$ 说明函数 $f(x)$ 是凹的（绿色的图）， $f''(x) < 0$ 说明函数 $f(x)$ 是凸的（红色的）。如下图所示。

凹的

凸的

定义极值的必要条件设$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$存在偏导数，且$(x_{0},y_{0})$为$f(x,y)$的极值点，则

$\begin{align}f_{x}^{\prime}\left(x_{0},y_{0}\right)=0,f_{y}^{\prime}\left(x_{0},y_{0}\right)=0\end{align}$

定义极值的充分条件设$z=f(x,y)$在点$P_{0}\left(x_{0},y_{0}\right)$的某邻域内有二阶连续偏导数，又$f_{x}^{\prime}(x_{0},y_{0})=0,f_{y}^{\prime}(x_{0},y_{0})=0$。记

$\begin{align}A=f_{xx}^{\prime\prime}\left(x_{0},y_{0}\right),\quad B=f_{xy}^{\prime\prime}\left(x_{0},y_{0}\right),\quad C=f_{yy}^{\prime\prime}\left(x_{0},y_{0}\right)\end{align}$

则有下述结论:

若 $AC-B^{2}>0$ $A C - B^{2} > 0$ ，则 $\left(x_{0},y_{0}\right)$ $(x_{0}, y_{0})$ 为 $f(x,y)$ $f (x, y)$ 的极值点。
1. $A<0$ ，则 $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 为 $f(x,y)$ 的极大值点。
2. $A>0$ ，则 $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 为 $f(x,y)$ 的极小值点。
若 $AC-B^{2}<0$ ，则 $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 不为 $f(x,y)$ 的极值点。
若 $AC-B^{2}=0$ ，则 $\left(x_{0},y_{0}\right)$ 可能为 $f(x,y)$ 的极值点，也可能不为 $f(x,y)$ 的极值点(此时，一般用定义判定)。