重积分

二重积分概念与性质

概念

定义 设函数$z=f(x,y)$在有界闭区域$D$上有定义，将区域$D$任意分成$n$个小闭区域

\begin{align}\Delta\sigma_{1},\Delta\sigma_{2},\cdots,\Delta\sigma_{n}\end{align}

其中$\Delta\sigma_{i}$表示第$i$个小区域，也表示它的面积。在每个$\Delta\sigma_{i}$上任取一点$\left(\xi_{i},\eta_{i}\right)$，作乘积$f\left(\xi_{i},\eta_{i}\right)\Delta\sigma_{i}$，并求和$\sum_{i=1}^{n}f\left(\xi_{i},\eta_{i}\right)\Delta\sigma_{i}$，记$\lambda$为$n$个小区域$\Delta\sigma_{1},\Delta\sigma_{2},\cdots,\Delta\sigma_{n}$中的最大直径，如果$\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}f\left(\xi_{i},\eta_{i}\right)\Delta\sigma_{i}$存在，则称此极限值为函数$f(x,y)$在区域$D$上的二重积分，记为

\begin{align}\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}f\left(\xi_{i},\eta_{i}\right)\Delta\sigma_{i}\end{align}

形象的比喻

可以参考知乎的这篇文章：二重积分到底该怎么理解？

几何意义

二重积分$\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$是一个数。当$f(x,y)\geqslant0$时，其值等于以区域$D$为底，以曲面$z=f(x,y)$为曲顶的曲顶柱体的体积；当$f(x,y)\leqslant0$时，二重积分的值为负值，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积。

性质

• （求区域面积）$\iint_{D}1\cdot\mathrm{d}\sigma=\iint_{D}\mathrm{~d}\sigma=A$，其中$A$为$D$的面积。

• （可积函数必有界）当$f(x,y)$在有界闭区域$D$上可积时，$f(x,y)$在$D$上必有界。

• （积分的线性性质）设$k_{1}$，$k_{2}$为常数，则\begin{align}\iint_{D}\left[k_{1}f(x,y)\pm k_{2}g(x,y)\right]\mathrm{d}\sigma=k_{1}\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\pm k_{2}\iint_{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma\end{align}

• （积分的可加性）设$f(x,y)$在有界闭区域$D$上可积，且$D_{1}\cup D_{2}=D,D_{1}\cap D_{2}=\varnothing$，则\begin{align}\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint_{D_{1}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma+\iint_{D_{2}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\end{align}

• （积分的保号性）当$f(x,y),g(x,y)$在有界闭区域$D$上可积时，若在$D$上$f(x,y)\leqslant g(x,y)$则有\begin{align}\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\leqslant\iint_{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma\end{align}

  特殊地，有\begin{align}\left|\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\right|\leqslant\iint_{D}|f(x,y)|\mathrm{d}\sigma\end{align}

• （二重积分的估值定理）设$M,m$分别是$f(x,y)$在有界闭区域$D$上的最大值和最小值，$A$为$D$的面积，则有\begin{align}mA\leqslant\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma\leqslant MA\end{align}

• （二重积分的中值定理）设函数$f(x,y)$在有界闭区域$D$上连续，$A$为$D$的面积，则在$D$上至少存在一点$(\xi,\eta)$，使得\begin{align}\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)A\end{align}

二重积分的计算

利用直角坐标计算

• 先$y$后$x$

\begin{align}\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_{a}^{b}\mathrm{~d}x\int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)}f(x,y)\mathrm{d}y\end{align}

• 先$x$后$y$

\begin{align}\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_{c}^{d}\mathrm{~d}y\int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)}f(x,y)\mathrm{d}x\end{align}

利用极坐标计算

• 先$\rho$后$\theta$

\begin{align}\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}\mathrm{d}\theta\int_{\varphi_{1}(\theta)}^{\varphi_{2}(\theta)}f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)\rho\mathrm{d}\rho\end{align}

【注】 适合用极坐标计算的二重积分的特征：

1. 适合用极坐标计算的被积函数：$f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right),f\left(\frac{y}{x}\right),f\left(\frac{x}{y}\right)$
2. 适合用极坐标的积分域：如$x^{2}+y^{2}\leqslant R^{2};r^{2}\leqslant x^{2}+y^{2}\leqslant R^{2};x^{2}+y^{2}\leqslant2ax;x^{2}+y^{2}\leqslant2bx$

利用函数的奇偶性计算

• 若积分域$D$关于$y$轴对称，$f(x,y)$关于$x$有奇偶性，则：

$\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\left\{\begin{array}{ll}2\iint_{D_{x\geqslant0}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma,&f(x,y)\text{关于}x\text{为偶函数}\\0,&f(x,y)\text{关于}x\text{为奇函数}\end{array}\right.$

• 若积分域$D$关于$x$轴对称，$f(x,y)$关于$y$有奇偶性，则

$\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\left\{\begin{array}{ll}2\iint_{D_{y\geqslant0}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma,&f(x,y)\text{关于}y\text{为偶函数}\\0,&f(x,y)\text{关于}y\text{为奇函数}\end{array}\right.$

利用变量的轮换对称性计算

如果积分域$D$具有轮换对称性，也就是关于直线$y=x$对称，即$D$的表达式中将$x$换作$y$，$y$换作$x$表达式不变，则

$\iint_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma=\iint_{D}f(y,x)\mathrm{d}\sigma$

三重积分

设区域$E$可以表示为：

$E=\left\{(x,y,z)\mid a\leq x \leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x),u_{1}(x,y)\leq z\leq u_{2}(x,y)\right\}$

那么通过富比尼定理，函数$f(x,y,z)$在区域$E$上的三重积分可以如下计算：

$\begin{aligned}\iiint_{E}f(x,y,z)\mathrm{d}V&=\iint_{D}\left[\int_{u_{1}(x,y)}^{u_{2}(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z\right]\mathrm{d}A\\&=\int_{a}^{b}\int_{g_{1}(x)}^{g_{2}(x)}\int_{u_{1}(x,y)}^{u_{2}(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z\mathrm{~d}y\mathrm{~d}x\end{aligned}$

这样就将三重积分划为了方便计算的三次积分。