向量与行列式

向量

向量的定义

$n$个有序的数$a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$所组成的数组称为$n$维向量，这$n$个数称为该向量的$n$个分量，第$i$个数$a_{i}$称为第$i$个分量。$n$维向量可写成一行，也可写成一列。$n$也称为该向量的维数。分别称为行向量和列向量:

• $n$维列向量：

  $\left(\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\\vdots\\a_{n}\end{array}\right)$

• $n$维行向量：

  $\left(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}\right)\text{或}\left(\begin{array}{llll}a_{1}&a_{2}&\cdots&a_{n}\end{array}\right)$

二维向量

2维向量$\boldsymbol{u}=\left(\begin{array}{l}u_{1}\\u_{2}\end{array}\right)$其实就是直角坐标系中的一个点；也可以认为它是原点指向$\left(\begin{array}{l}u_{1}\\u_{2}\end{array}\right)$的有向线段。这两种几何意义是完全等效的，在本文档中会混用这两者：

所以可认为直角坐标系中的任意点都是向量，也可以认为原点指向某点的有向线段都是向量：

三维向量

3 维向量也是一样的，比如上一节提到的篮球，它作为三维空间中一个点，本身就是向量；也可以认为原点指向它的有向线段是向量：

N维向量

对于更高维的向量，比如想描述一个游戏人物的信息：

就可以用9维列向量或行向量来表示，但就没有什么几何意义了：

$\begin{pmatrix}16\\8\\9\\19\\15\\10\end{pmatrix}$ 或$(16, 8, 9, 19, 15, 10)$

相等的向量

如果两个向量的维数相同，且各个分量相等，那么这两个向量相等。比如：

$\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$

不区分列向量和行向量的话，下面两个向量也是相等的：

$\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}=(1,2)$

零向量

如果$n$维向量的所有分量都是0，那么就被称为零向量。比如：

2 维零向量：$\boldsymbol{0}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$

3 维零向量：$\boldsymbol{0}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$

上面两个向量的几何意义就是平面、空间中的原点，或者认为是起点和终点相同的有向线段：

二维

三维

零向量非常特殊：

• 长度：零向量的长度为0
• 方向：零向量指向任意方向
• 夹角：因为零向量指向任意方向，所以它与某一向量的夹角为任意角度
• 平行与正交：因为夹角任意，所以零向量与任意向量平行、正交

行列式

行列式的本质定义

一个2阶行列式的计算是这样的：$\left|\begin{array}{ll}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$。这是一个什么样的计算规则？它背后有什么样的意义？

首先我们设$\vec a_1$的长度（模）为$l$，$\vec a_2$的长度（模）为$m$，$\vec a_1$与$x$轴正向的夹角为$\alpha$，$\vec a_2$与$x$轴正向的夹角为$\beta$

通过上图我们可以推导出如下公式

\begin{align}S_{\square O A B C} & =l \cdot m \cdot \sin (\beta-\alpha) \\& =l \cdot m(\sin \beta \cos \alpha-\cos \beta \sin \alpha) \\& =l \cos \alpha \cdot m \sin \beta-l \sin \alpha \cdot m \cos \beta \\& =a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}\end{align}

于是根据上面公式我们可以得出

\begin{align}\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21}=S_{\square O A B C}\end{align}

我们看到了一个极其直观有趣的结论：2阶行列式是由两个2维向量组成的，其(运算规则的)结果为以这两个向量为邻边的平行四边形的面积。这不仅得出了2阶行列式的计算规则，也能够清楚地看到其几何意义。

3阶行列式$D_{3}=\left|\begin{array}{lll}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right|$是由三个3维向量$\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[a_{11},a_{12},a_{13}\right],\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[a_{21},a_{22},a_{23}\right],\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left[a_{31},a_{32},a_{33}\right]$组成的，其结果为以这三个向量为邻边的平行六面体的体积。

依此类推，我们便可以给出$n$阶行列式$D_{n}=\left|\begin{array}{ccc}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{mn}\end{array}\right|$的本质定义：$n$阶行列式是由$n$个$n$维向量$\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n}\right],\boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[a_{21},a_{22},\cdots,a_{2n}\right],\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}=\left[a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nn}\right]$组成的，其(运算规则的)结果为以这$n$个向量为邻边的$n$维图形的体积。

二阶行列式的计算方法

二阶行列式比较常用，我们需要记住它的计算方法

\begin{align} \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\end{align}

还可以通过对角线法则来记忆：

三阶行列式的计算方法

三阶行列式也常用：

\begin{align} \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} = &a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\ &-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} \end{align}

也可以通过对角线法则来记忆：

行列式的性质

转置行列式

性质1 行列互换，其值不变，即$|\boldsymbol{A}|=\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|$。样例如下

\begin{align}A=\left|\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 2 &3\end{array}\right|=A^{T}=\left|\begin{array}{ll} 1&2 \\ -1&3 \end{array}\right|\end{align}

对于$n$阶方阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})$，有：

\begin{align}|\boldsymbol{A}|= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix},\quad |\boldsymbol{A}^\mathrm{T}|= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}\end{align}

行列式$|\boldsymbol{A}^\mathrm{T}|$称为行列式$|\boldsymbol{A}|$的转置行列式。可以证明：

\begin{align}|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}^\mathrm{T}|\end{align}

之前解释过$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$与$\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}^\mathrm{T}=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}$代表的是同一个映射，只是代数形式不同

而行列式$|\boldsymbol{A}|$和$|\boldsymbol{A}^\mathrm{T}|$是这两个矩阵函数的伸缩比例，因为代表的是同一个映射，所以自然有$|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}^\mathrm{T}|$。

满秩、可逆与行列式

性质2 若行列式中某行(列)元素全为零，则行列式为零。两个样例如下

\begin{align}\left|\begin{array}{ll} 1 & 3&5 \\ 2 &1&7\\ 0&0&0 \end{array}\right|=0\end{align}

\begin{align}\left|\begin{array}{ll} 1 & 0&5 \\ 2 &0&7\\ 1&0&9 \end{array}\right|=0\end{align}

可以结合二阶行列式的意义来理解“满秩与行列式的关系”：

从上面的动画中可以看出：

• $|\boldsymbol{A}|\ne 0$，左边的矩形变为右侧的平行四边形，此时矩阵函数为双射，所以$\boldsymbol{A}$是满秩矩阵，也可逆
• $|\boldsymbol{A}|= 0$，左边的矩形变为右侧的线段，此时矩阵函数非单射，所以$\boldsymbol{A}$不是满秩矩阵，也不可逆

还很容易得到以下两个推论：

1. 比如某矩阵一行（列）元素全为0，很显然该矩阵非满秩矩阵，则对应的行列式为0：

   $\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ {\color {blue}0}&{\color{blue}0}&\dots&{\color{blue}0}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&\dots&{\color {blue}0}&\dots &a_{1n}\\ a_{21}&\dots&{\color {blue}0}&\dots &a_{2n}\\ \vdots&\ddots&\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1}&\dots &{\color {blue}0}&\dots &a_{nn} \end{vmatrix}=0$

2. 再比如某矩阵有两行（列)对应成比例或相同，很显然该矩阵非满秩矩阵，所以对应的行列式为0：

   $\begin{vmatrix} {\color {blue}2}&{\color {blue}2}&\dots &{\color {blue}2}\\ {\color {blue}8}&{\color {blue}8}&\dots &{\color {blue}8}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{vmatrix}=0$

行列式的数乘

性质3 若行列式中某行(列)元素有公因子$k(k\neq0)$，则$k$可提到行列式外面，即

\begin{align}{\color {blue}k} \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ {\color {blue}k}a_{i1}&{\color{blue}k}a_{i2}&\dots&{\color{blue}k}a_{in}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}&\dots&{\color {blue}k}a_{1j}&\dots &a_{1n}\\ \vdots &\dots&{\color {blue}k}a_{2j} &\dots &\vdots \\ \vdots &\ddots&\vdots&\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots&{\color {blue}k}a_{nj}&\dots &a_{nn} \end{vmatrix}\end{align}

假设有二阶方阵$\boldsymbol{A}$以及它的列向量为：

\begin{align}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{c_1}=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{c_2}=\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}\end{align}

那么“行列式的数乘”说的就是，不论平行四边形的哪一边的长度增加$k$倍，平行四边形的有向面积都会增加$k$倍

对于$n$阶方阵$\boldsymbol{A}$，反复运用“行列式的数乘”可得：

\begin{align}|k\boldsymbol{A}|=\begin{vmatrix} {\color {blue}k}a_{11}&{\color {blue}k}a_{12}&\dots&{\color {blue}k}a_{1n}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ {\color {blue}k}a_{i1}&{\color{blue}k}a_{i2}&\dots&{\color{blue}k}a_{in}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ {\color {blue}k}a_{n1}&{\color {blue}k}a_{n2}&\dots &{\color {blue}k}a_{nn} \end{vmatrix}=k^n|\boldsymbol{A}|\end{align}

行列式的加法

性质4 行列式中某行(列)元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即

\begin{align}\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i 1}+b_{i 1} & a_{i 2}+b_{i 2} & \cdots & a_{i n}+b_{i n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i 1} & b_{i 2} & \cdots & b_{i n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{m} \end{array}\right|\end{align}

“行列式的加法”作用在二阶行列式的结果如下，根据二阶行列式的几何意义，该等式可以解读为左边的平行四边形是右边两个平行四边形之和：

\begin{align}\begin{vmatrix} {\color{blue}{a_{11}}}+{\color{ForestGreen}{b_{11}}}&a_{12}\\ {\color{blue}{a_{21}}}+{\color{ForestGreen}{b_{21}}}&a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} {\color{blue}{a_{11}}}&a_{12}\\ {\color{blue}{a_{21}}}&a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} {\color{ForestGreen}{b_{11}}}&a_{12}\\ {\color{ForestGreen}{b_{21}}}&a_{22} \end{vmatrix}\end{align}

当$\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}b_{11}\\b_{21}\end{pmatrix}$在一条直线上的时候一下就可以看出来：

样就不太容易看出来，不过可以脑补上面的三角形可以搬下来填充下面的三角形：

行（列）互换

性质5 行列式中两行(列)互换，行列式的值反号。

\begin{align}\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 &3\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 &2\end{array}\right|\end{align}

行列式中的行（列）互换后，行列式正负号发生改变：

\begin{align}\begin{vmatrix} \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ {\color{blue}{a_{i1}}}&{\color{blue}{a_{i2}}}&\dots&{\color{blue}{a_{in}}}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ {\color{ForestGreen}{a_{j1}}}&{\color{ForestGreen}{a_{j2}}}&\dots&{\color{ForestGreen}{a_{jn}}}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ \end{vmatrix} = -\begin{vmatrix} \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ {\color{ForestGreen}{a_{j1}}}&{\color{ForestGreen}{a_{j2}}}&\dots&{\color{ForestGreen}{a_{jn}}}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ {\color{blue}{a_{i1}}}&{\color{blue}{a_{i2}}}&\dots&{\color{blue}{a_{in}}}\\ \vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\ \end{vmatrix}\end{align}

下面通过一个列互换的例子来解释下该性质的几何意义。假设有二阶方阵$\boldsymbol{A}$以及它的列向量为：

\begin{align}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{c_1}=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{c_2}=\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}\end{align}

那么“行（列）互换”导致右手定则确定的有向面积发生了改变，所以正负号会发生改变。还是用幅图来说明：

等比例行列式

性质6 行列式中的两行(列)元素相等或对应成比例，则行列式为零。两个样例如下

\begin{align}\left|\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 &4\end{array}\right|=0\end{align}

\begin{align}\left|\begin{array}{ll} 3 & 6 \\ 9 &18\end{array}\right|=0\end{align}

行列式的倍加

性质7 行列式中某行(列)的$k$倍加到另一行(列)，行列式的值不变。例子如下：

\begin{align}\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21}+ka_{11} & a_{22}+ka_{12} \end{array}\right|\end{align}

为什么呢？这个公式通过性质4可以变成

\begin{align}\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21}+ka_{11} & a_{22}+ka_{12} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ ka_{11} & ka_{12} \end{array}\right|\end{align}

而通过性质6可以把试子化简

\begin{align}\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ ka_{11} & ka_{12} \end{array}\right|=0\end{align}

所以是相等的

“行列式的倍加”作用在二阶行列式的结果如下，根据二阶行列式的几何意义，该等式可以解读为左右两边的平行四边形相等：

\begin{align}\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}{\color{blue}{+ka_{12}}}&a_{12}\\ a_{21}{\color{blue}{+ka_{22}}}&a_{22} \end{vmatrix}\end{align}

这两个平行四边形同底等高，很显然是相等的

行列式的逆序数法定义（第二种定义)

排列和逆序

排列

由$n$个数$1,2,\cdots,n$组成的一个有序数组称为一个$n$级排列，如23145是一个5级排列，41352也是一个5级排列。$n$级排列共有$n!$个。

逆序

在一个$n$级排列$i_{1}i_{2}\cdots i_{s}\cdots i_{t}\cdots i_{n}$中，若$i_{s}>i_{t}$，且$i_{s}$排在$i_{t}$前面，则称这两个数构成一个逆序。

逆序数

一个排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记作$\tau\left(i_{1}i_{2}\cdots i_{n}\right)$，如$\tau(231546)=3,\tau(621534)=8$。由小到大顺排的排列称为自然排序，如$12345$，显然，自然排序的逆序数为$0$。

举例

$\tau(621534)=8$为什么等于8呢？

通过排序可以得到$62,61,65,63,64,21,53,54$对组合，使用等于8

奇排列和偶排列

排列的逆序数为奇数时，该排列称为奇排列，排列的逆序数为偶数时，该排列称为偶排列。

$n$阶行列式的定义

$n(n\geqslant2)$阶行列式

\begin{align}\left|\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{m} \end{array}\right|=\sum_{j_{1}j_{L}\cdots j_{n}}(-1)^{\mathrm{r}\left(j_{1} j_{2}\cdots j_{n}\right)}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}\end{align}

这里$\sum_{j,j_{n}\cdots j_{0}}$表示对所有$n$个列下标排列求和，故为$n!$项之和。注意到行下标已经顺排，而列下标是任一个$n$级排列，故每项由取自不同行、不同列的$n$个元素的乘积组成,每项的正、负号取决于$(-1)^{\mathrm{r}\left(j_{1}j_{2}\cdots\mathrm{j}_{\mathrm{j}}\right)}$。当
列下标为奇排列时，应附加负号；当列下标为偶排列时，应附加正号。

举例

请确定$a_{12} a_{31} a_{54} a_{43} a_{25}$，这一展开项前的正、负号

先按行顺拍

\begin{align}a_{12} a_{25} a_{31} a_{43} a_{54}\end{align}

然后去列进行计算${\tau(25134)}$

我们就会得到下面这个试子

\begin{align}(-1)^{\tau(25134)} a_{12} a_{25} a_{31} a_{43} a_{54}\end{align}

由于计算$\tau(25134)$，列出结果$21,51,53,54$，那么值为4，所以这边就是正号

---

三阶行列的计算同理

\begin{align}\left|\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|\end{align}

如果用划线法计算是如下的样子，通过该公式来验证发现和划线法一模一样

\begin{align} +a_{11} a_{22} a_{33} \quad \tau(123)=0\\ +a_{12} a_{23} a_{31} \quad \tau(231)=2 \\ +a_{13} a_{21} a_{32} \quad \tau(312)=2\\ -a_{13} a_{22} a_{31} \quad \tau(321)=3 \\ -a_{11} a_{23} a_{32} \quad \tau(132)=1 \\ -a_{12} a_{21} a_{33} \quad \tau(213)=1 \\ \end{align}

行列式的展开定理(第三种定义)

余子式

在$n$阶行列式中，去掉元素$a_{ij}$所在的第$i$行、第$j$列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的$n-1$阶行列式称为元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$，即

\begin{align}M_{i j}=\left|\begin{array}{cccccc} a_{11} & \cdots & a_{1, j-1} & a_{1, j+1} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1, j-1} & a_{i-1, j+1} & \cdots & a_{i-1, n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1, j-1} & a_{i+1, j+1} & \cdots & a_{i+1, n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n, j-1} & a_{n, j+1} & \cdots & a_{m} \end{array}\right|\end{align}

如图所示

在三阶行列式行的计算方法中，其实就有余子式：

$\begin{aligned} \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} &=a_{11}\overbrace{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}^{a_{11}\text{的余子式}}-a_{21}\overbrace{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}^{a_{21}\text{的余子式}}+a_{31}\overbrace{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}^{a_{31}\text{的余子式}}\\ \\ &=a_{11}M_{11}-a_{21}M_{21}+a_{31}M_{31} \end{aligned}$

比如$M_{11}$和$M_{21}$就是划掉$a_{11}$、$a_{21}$所在行、列得到的：

举例

\begin{align}\left|\begin{array}{l} 5 & 2 & 1 \\ 1 & 2 &5 \\ 34 & 1 & 34 \end{array}\right|\end{align}

中间这个2是在$a_{22}$的位置，所以它的余子式就是

\begin{align}\left|\begin{array}{l} 5 & 1 \\ 34 & 34 \end{array}\right|=M_{22}\end{align}

代数余子式

在$a_{ij}$的余子式$M_{ij}$的基础上，还可以定义$A_{ij}$，称为$a_{ij}$的代数余子式：

\begin{align}A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\end{align}

显然也有$M_{ij}=(-1)^{i+j}A_{ij}$

下面给出一幅图，在$a_{ij}$的位置标出对应的代数余子式$A_{ij}$的正负号，可从中看出正负号的规律，方便记忆：

在三阶行列式行的计算方法中，如果将符号包含进去的话，那么就从余子式变为了代数余子式：

\begin{align} \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} &=a_{11}\overbrace{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}^{a_{11}\text{的代数余子式}}+a_{21}\overbrace{(-\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix})}^{a_{21}\text{的代数余子式}}+a_{31}\overbrace{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}^{a_{31}\text{的代数余子式}}\\ \\ &=a_{11}A_{11}+a_{21}A_{21}+a_{31}A_{31}\end{align}

举例

\begin{align}\left|\begin{array}{l} 5 & 2 & 1 \\ 1 & 2 &5 \\ 34 & 1 & 34 \end{array}\right|\end{align}

中间这个2是在$a_{22}$的位置，所以它的余子式就是

\begin{align}\left|\begin{array}{l} 5 & 1 \\ 34 & 34 \end{array}\right|=M_{22}\end{align}

代数余子式就是

\begin{align}(-1)^{2+2}M_{22}\end{align}

行列式按某一行(列)展开的展开公式

行列式的值等于行列式的某行(列)元素分别乘其相应的代数余子式后再求和，即

\begin{align}|\boldsymbol{A}|=\left\{\begin{array}{l} a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} A_{i j}(i=1,2, \cdots, n) \\ a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{n j}=\sum_{i=1}^{n} a_{i j} A_{i j}(j=1,2, \cdots, n) \end{array}\right.\end{align}

但行列式的某行(列)元素分别乘另一行(列)元素的代数余子式后再求和，结果为零，即

\begin{align} a_{i 1} A_{k 1}+a_{i 2} A_{k 2}+\cdots+a_{i n} A_{k n}=0, i \neq k \\ a_{1 j} A_{1 k}+a_{2 j} A_{2 k}+\cdots+a_{n j} A_{n k}=0, j \neq k \end{align}

举例

\begin{align}D_{4}=\left|\begin{array}{} 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right|\end{align}

计算公式如下

\begin{align}a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}+a_{14}A_{14}\end{align}

首先获取代数余子试

\begin{align}A_{11}=(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right|=8\end{align}

\begin{align}A_{12}=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{array}\right|=1\end{align}

所以结果为

\begin{align}2*8+(-1)*1+0*A_{13}+0*A_{14}=15\end{align}

具体取哪一行：哪一行含的0多选哪一行

几个重要的行列式

主对角线行列式 (上(下) 三角形行列式)

\begin{align}\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{array}\right|=\prod_{i=1}^{n} a_{i i}\end{align}

举例

用一个三阶行列作为例子，主对角线直接相乘就能算出结果

\begin{align}\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{array}\right|=a_{11}a_{22}a_{33}\end{align}

副对角线行列式

\begin{align} \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & \cdots & a_{1, n-1} & a_{1 n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2, n-1} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right| & =\left|\begin{array}{cccc} 0 & \cdots & 0 & a_{1 n} \\ 0 & \cdots & a_{2, n-1} & a_{2 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n, n-1} & a_{n n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc} 0 & \cdots & 0 & a_{1 n} \\ 0 & \cdots & a_{2, n-1} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & 0 & 0 \end{array}\right| \\ & =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1, n} a_{2, n-1} \cdots a_{n 1} \end{align}

拉普拉斯展开式

设$\boldsymbol{A}$为$m$阶矩阵，$\boldsymbol{B}$为$n$阶矩阵，则

\begin{align} \left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{B} \end{array}\right|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|, \\ \left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{C} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{C} \end{array}\right|=(-1)^{m n}|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}| \end{align}

举例

左上是一个二阶行列式，也就是A，右下是一个三阶行列式，也就是B

\begin{align}\left|\begin{array}{ccccc} \left|\begin{array}{cc}2 & 1 \\1 & 3 \end{array}\right| \left|\begin{array}{cc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right|\\\ \left|\begin{array}{cc} 0 & 0\\ 0 & 0 \\0 & 0 \end{array}\right| \left|\begin{array}{cc}-1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & 1 \end{array}\right| \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} A & 0 \\ 0 & B \end{array}\right|\end{align}

范德蒙德行列式

\begin{align}\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{array}\right|=\prod_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(x_{j}-x_{i}\right)\end{align}

举例

当第一行全都是1，第三行开始全都是第二行的$n-1$次方，那么就可以直接用第二行来运算

\begin{align}\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} \end{array}\right|=(x_3-x_2)(x_3-x_1)(x_2-x_1)\end{align}