特征向量与特征值

基本概念

设A\boldsymbol{A}是nn阶矩阵，λ\lambda是一个数，若存在nn维非零列向量ξ\boldsymbol{\xi}，使得

\begin{align}\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\lambda \boldsymbol{\xi}\end{align}

则称λ\lambda是A\boldsymbol{A}的特征值，ξ\boldsymbol{\xi}是A\boldsymbol{A}的对应于特征值λ\lambda的特征向量

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由Aξ=λξ\boldsymbol{A} \boldsymbol{\xi}=\lambda \boldsymbol{\xi}可以得到下面式子

\begin{align}(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{\xi}=\mathbf{0}\end{align}

因ξ≠0\boldsymbol{\xi} \neq \mathbf{0}，故

\begin{align}|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cccc} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1 n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n 1} & -a_{n 2} & \cdots & \lambda-a_{m} \end{array}\right|=0\end{align}

上面的式称为A\boldsymbol{A}的特征方程，是未知量λ\lambda的nn次方程，有nn个根 (重根按照重数计)，λE−A\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}称为特征矩阵，∣λE−A∣|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|称为特征多项式

解题步骤

  1. ∣λE−A∣=0|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=0
  2. 求出λi\lambda_i，如果不好求需要使用下面的《当无法使用性质该如何求解》的方法来求
  3. 求出每个λi\lambda_i后分别代入，(λiE−A)x=0(\lambda_i \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})x=0，求齐次方程的通解

例题

求下列矩阵的特征值和特征向量

  1. A=[111022003]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right]
  2. B=[101010001]\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]

解：(1)

\begin{align}|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc} \lambda-1 & -1 & -1 \\ 0 & \lambda-2 & -2 \\ 0 & 0 & \lambda-3 \end{array}\right|=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)=0\end{align}

解得A\boldsymbol{A}的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3

当λ1=1\lambda_{1}=1时，由

\begin{align}\left(\lambda_{1} \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\mathbf{0}\end{align}

然后对[0−1−10−1−200−2]\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right]进行线性变换，接着求出通解

解得基础解系为ξ1=[1,0,0]T,k1ξ1\boldsymbol{\xi}_{1}=[1,0,0]^{\mathrm{T}}, k_{1} \boldsymbol{\xi}_{1}（k1k_{1}是不为零的任意常数）为对应于λ1=1\lambda_{1}=1的全部特征向量

当λ2=2\lambda_{2}=2时，由

\begin{align}\left(\lambda_{2} \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\mathbf{0}\end{align}

同理对[1−1−100−200−1]\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right]求通解

解得基础解系为ξ2=[1,1,0]T,k2ξ2\boldsymbol{\xi}_{2}=[1,1,0]^{\mathrm{T}}, k_{2} \boldsymbol{\xi}_{2}（k2k_{2}是不为零的任意常数）为对应于λ2=2\lambda_{2}=2的全部特征向量

当λ3=3\lambda_{3}=3时，由

\begin{align}\left(\lambda_{3} \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\mathbf{0}\end{align}

同理求出通解，解得基础解系为ξ3=[3,4,2]T,k3ξ3\boldsymbol{\xi}_{3}=[3,4,2]^{\mathrm{T}}, k_{3} \boldsymbol{\xi}_{3}（k3k_{3}是不为零的任意常数）为对应于λ3=3\lambda_{3}=3的全部特征向量

第(2)题由

\begin{align}|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|=\left|\begin{array}{ccc} \lambda-1 & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-1 \end{array}\right|=(\lambda-1)^{3}=0\end{align}

解得B\boldsymbol{B}的特征值为λ=1\lambda=1（三重根）

当λ=1\lambda=1时，由

\begin{align}(\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}) \boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\mathbf{0}\end{align}

解得线性无关的基础解系ξ1=[1,0,0]T,ξ2=[0,1,0]T,k1ξ1+k2ξ2\boldsymbol{\xi}_{1}=[1,0,0]^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\xi}_{2}=[0,1,0]^{\mathrm{T}}, k_{1} \boldsymbol{\xi}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\xi}_{2}（k1,k2k_{1}, k_{2}是不同时为零的任意常数）为B\boldsymbol{B}的对应于特征值λ=1\lambda=1（三重根）的全部特征向量

重点内容

  1. 上、下三角矩阵与对角矩阵的特征值就是对角线元素
  2. 题中B\boldsymbol{B}的特征值λ=1\lambda=1是三重根，但对应的线性无关的特征向量只有两个

当无法使用性质该如何求解

设A=[2−20−21−20−20]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right],求矩阵A\boldsymbol{A}的特征多项式∣λE−A∣|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|及A\boldsymbol{A}的全部特征值

方法一（使用性质来求）：

\begin{align}\begin{aligned} |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}| & =\left|\begin{array}{ccc} \lambda-2 & 2 & 0 \\ 2 & \lambda-1 & 2 \\ 0 & 2 & \lambda \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} \lambda+2 & 2 & 0 \\ 2(\lambda+2) & \lambda-1 & 2 \\ 2(\lambda+2) & 2 & \lambda \end{array}\right| \\ & =(\lambda+2)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & \lambda-1 & 2 \\ 2 & 2 & \lambda \end{array}\right|=(\lambda+2)\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & \lambda-5 & 2 \\ 2 & -2 & \lambda \end{array}\right| \\ & =(\lambda+2)\left|\begin{array}{cc} \lambda-5 & 2 \\ -2 & \lambda \end{array}\right|=(\lambda+2)\left(\lambda^{2}-5 \lambda+4\right) \\ & =(\lambda+2)(\lambda-1)(\lambda-4), \end{aligned}\end{align}

所以A\boldsymbol{A}的特征值为−2,1,4-2,1,4

方法二（正常做题）：

直接用展开做：

\begin{align}\begin{aligned} \left|\begin{array}{ccc} \lambda-2 & 2 & 0 \\ 2 & \lambda-1 & 2 \\ 0 & 2 & \lambda \end{array}\right| & =\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)-4(\lambda-2)-4 \lambda \\ & =\lambda^{3}-3 \lambda^{2}-6 \lambda+8 \end{aligned}\end{align}

矩阵A\boldsymbol{A}的特征多项式f(λ)=∣λE−A∣f(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|求出来了，但f(λ)f(\lambda)是λ\lambda的三次多项式，求特征根有些困难。我们要使用试根法找出(λ−λ1)(\lambda-\lambda_1)，然后使用多项式除法

试根法找(λ−λ1)(\lambda-\lambda_1)

我们全部有四个方法来求解

前三个方法

如果求出的特征多项式如下

\begin{align}f(\lambda)=a_{k} \lambda^{k}+\cdots+a_{1} \lambda+a_{0}=0\end{align}

求根方法：

  1. 若a0=0a_{0}=0，则f(0)=0f(0)=0，所以此时00是f(λ)=0f(\lambda)=0的根

    样例：λ3−λ2+3λ\lambda^{3}- \lambda^{2}+3 \lambda，那么由于a0=0a_{0}=0，所以我们可以得到00是其中的一个根

  2. 若ak+ak−1+⋯+a1+a0=0a_{k}+a_{k-1}+\cdots+a_{1}+a_{0}=0，则f(1)=0f(1)=0，所以此时11是f(λ)=0f(\lambda)=0的根

    样例：λ3−3λ2−6λ+8\lambda^{3}-3 \lambda^{2}-6 \lambda+8，对所有系数进行求和，1−3−6+8=01-3-6+8=0，所以我们可以得到11是其中的一个根

  3. 若f(λ)f(\lambda)的偶次项（包括a0a_{0}）系数之和等于奇次项系数之和，则f(−1)=0f(-1)=0，所以此时−1-1是f(λ)=0f(\lambda)=0的根

    样例：λ3+3λ2+6λ+4\lambda^{3}+3 \lambda^{2}+6 \lambda+4，对所有偶次系数求和3+4=73+4=7，奇次方系数求和1+6=71+6=7，所以我们可以得到−1-1是其中的一个根

第四个方法

如果求出的特征多项式如下

\begin{align}f(\lambda)=1 \cdot \lambda^{k}+a_{k-1} \lambda^{k-1}+\cdots+a_{1} \lambda+a_{0}\end{align}

求根方法：

  1. 首项系数为11，并且系数ai(i=0,1,2,⋯ ,k−1)a_{i}(i=0,1,2, \cdots, k-1)都是整数的多项式，则f(x)=0f(x)=0的有理根都是整数，且均是a0a_{0}的因子。

样例：设33阶方阵A\boldsymbol{A}的特征多项式为f(λ)=∣λE−A∣=λ3−4λ2+3λ+2f(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\lambda^{3}-4 \lambda^{2}+3 \lambda+2，求矩阵A\boldsymbol{A}的特征值

据上述定理，a0=2a_{0}=2所以f(λ)=0f(\lambda)=0的有理根只可能是±1,±2\pm 1, \pm 2，计算得

\begin{align}\begin{array}{c} f(1)=2 \neq 0, \quad f(-1)=-6 \neq 0, \\ f(2)=0, \quad f(-2)=-28 \neq 0, \end{array}\end{align}

故f(λ)=0f(\lambda)=0的有理根只有一个，即λ1=2\lambda_{1}=2。从而λ−2\lambda-2是f(λ)f(\lambda)的一个因式。用多项式的带余除法（后面会写）可得

\begin{align}f(\lambda)=(\lambda-2)\left(\lambda^{2}-2 \lambda-1\right)\end{align}

对二次多项式方程λ2−2λ−1=0\lambda^{2}-2 \lambda-1=0用求根公式得出两个根为

\begin{align}\lambda_{2}=1+\sqrt{2}, \quad \lambda_{3}=1-\sqrt{2}\end{align}

综上可知，A\boldsymbol{A}的33个特征值为2,1+2,1−22,1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}

多项式的带余除法

据此，在本例中f(λ)=λ3−3λ2−6λ+8f(\lambda)=\lambda^{3}-3 \lambda^{2}-6 \lambda+8，因1+(−3)+(−6)+8=01+(-3)+(-6)+8=0，所以11是f(λ)=0f(\lambda)=0的根。从而λ−1\lambda-1是f(λ)f(\lambda)的一个因式，进一步分解f(λ)f(\lambda)，可用多项式的带余除法，如果缺项需要补位

\begin{align}\begin{array}{lr} & \lambda ^ { 2 } - 2 \lambda - 8 \\ \lambda - 1 \!\!\!\!\!\! & \overline{) \lambda ^ { 3 } - 3 \lambda^{2} -6\lambda+ 8} \\ & \underline{\lambda^3-\lambda^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ & -2\lambda^2-6\lambda \ \ \ \ \ \ \ \\ & \underline{-2\lambda^2+2\lambda \ \ \ \ \ \ \ } \\ & -8\lambda+8 \\ & \underline{-8 \lambda+8 }\\& 0 \end{array}\end{align}

则f(λ)=(λ−1)(λ2−2λ−8)f(\lambda)=(\lambda-1)\left(\lambda^{2}-2 \lambda-8\right)。而λ2−2λ−8\lambda^{2}-2 \lambda-8作为二次三项式的因式分解，故有

\begin{align}f(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda+2)(\lambda-4)\end{align}

所以A\boldsymbol{A}的33个特征值为−2,1,4-2,1,4

因式分解法（十字相乘）

λ2−2λ−8\lambda^{2}-2 \lambda-8需要拼凑一个式子，二次项系数拆分成两个数（这两个数相乘要为二次项系数），常数项也拆分成两个数这两个数相乘要为常数项），然后使使其十字相乘为一次项的系数，动图如下

1

如果用概念进行求解

  1. A\boldsymbol{A}以及与A\boldsymbol{A}有关的常用矩阵的特征值和特征向量，总结如下：

    \begin{align}\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \hline \\ \quad矩阵 \quad & \boldsymbol{A} & k \boldsymbol{A} & \boldsymbol{A}^{k} & f(\boldsymbol{A}) & \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{A}^{*} & \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} \\ \\ \hline \\ \quad 特征值 \quad& \lambda & k \lambda & \lambda^{k} & f(\lambda) & \frac{1}{\lambda} & \frac{|\boldsymbol{A}|}{\lambda} & \lambda \\ \\ \hline \\ \quad 对应的特征向量\quad & \boldsymbol{\xi} & \boldsymbol{\xi} & \boldsymbol{\xi} & \boldsymbol{\xi} & \boldsymbol{\xi} & \boldsymbol{\xi} & \quad\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{\xi} \\ \\ \hline \end{array}\end{align}

    表中λ\lambda在分母上，设λ≠0\lambda \neq 0

  2. f(x)f(x)为多项式，若矩阵A\boldsymbol{A}满足f(A)=O,λf(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{\lambda}是A\boldsymbol{A}的任一特征值，则λ\lambda满足f(λ)=0f(\lambda)=0

  3. AT\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}的特征值与A\boldsymbol{A}相同，但特征向量不再是ξ\boldsymbol{\xi}，要单独计算才能得出

基本性质

特征值的性质

设A=(aij)n×n,λi(i=1,2,⋯ ,n)\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, \lambda_{i}(i=1,2, \cdots, n)是A\boldsymbol{A}的特征值，则

  1. ∑i=1nλi=∑i=1naii=tr⁡(A)\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}=\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})，所以特征值相加，就是它的主对角线值，λ1+λ2+⋯+λn=a11+a22+⋯+ann\lambda_{1}+\lambda_{2}+\dots +\lambda_{n}=a_{11}+a_{22}+\dots+a_{nn}
  2. ∏i=1nλi=∣A∣\prod_{i=1}^{n} \lambda_{i}=|\boldsymbol{A}|，特征值连乘积，就是A\boldsymbol{A}的行列式，λ1+λ2+⋯+λn=∣A∣\lambda_{1}+\lambda_{2}+\dots +\lambda_{n}=|\boldsymbol{A}|
用3阶矩阵为例，做个证明

设A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]，则∣λE−A∣=∣λ−a11−a12−a13−a21λ−a22−a23−a31−a32λ−a33∣|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda-a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & -a_{23} \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda-a_{33}\end{array}\right|是λ\lambda的一元三次多项式，则

\begin{align}|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc} \lambda-a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & -a_{23} \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda-a_{33} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} \lambda-a_{11} & 0-a_{12} & 0-a_{13} \\ 0-a_{21} & \lambda-a_{22} & 0-a_{23} \\ 0-a_{31} & 0-a_{32} & \lambda-a_{33} \end{array}\right|\end{align}

将上述行列式全部拆开，得到第一个式子

∣λE−A∣=∣λ000λ000λ∣+∣λ0−a130λ−a2300−a33∣+∣λ−a1200−a2200−a32λ∣+∣−a1100−a21λ0−a310λ∣+∣λ−a12−a130−a22−a230−a32−a33∣+∣−a110−a13−a21λ−a23−a310−a33∣+∣−a11−a120−a21−a220−a31−a32λ∣+∣−a11−a12−a13−a21−a22−a23−a31−a32−a33∣=λ3−(a11+a22+a33)λ2+(A11+A22+A33)λ−∣A∣\begin{aligned} |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}| & =\left|\begin{array}{lll} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} \lambda & 0 & -a_{13} \\ 0 & \lambda & -a_{23} \\ 0 & 0 & -a_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc} \lambda & -a_{12} & 0 \\ 0 & -a_{22} & 0 \\ 0 & -a_{32} & \lambda \end{array}\right|+\left|\begin{array}{lll} -a_{11} & 0 & 0 \\ -a_{21} & \lambda & 0 \\ -a_{31} & 0 & \lambda \end{array}\right|+ \\ & \left|\begin{array}{ccc} \lambda & -a_{12} & -a_{13} \\ 0 & -a_{22} & -a_{23} \\ 0 & -a_{32} & -a_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{lll} -a_{11} & 0 & -a_{13} \\ -a_{21} & \lambda & -a_{23} \\ -a_{31} & 0 & -a_{33} \end{array}\right|+\left|\begin{array}{lll} -a_{11} & -a_{12} & 0 \\ -a_{21} & -a_{22} & 0 \\ -a_{31} & -a_{32} & \lambda \end{array}\right|+\left|\begin{array}{lll} -a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\ -a_{21} & -a_{22} & -a_{23} \\ -a_{31} & -a_{32} & -a_{33} \end{array}\right| \\ & =\lambda^{3}-\left(a_{11}+a_{22}+a_{33}\right) \lambda^{2}+\left(A_{11}+A_{22}+A_{33}\right) \lambda-|\boldsymbol{A}| \end{aligned}

然后设第二个式子为

\begin{align}\begin{aligned} |\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}| & =\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right)\left(\lambda-\lambda_{3}\right) \\ & =\lambda^{3}-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right) \lambda^{2}+\left(\lambda_{1} \lambda_{2}+\lambda_{1} \lambda_{3}+\lambda_{2} \lambda_{3}\right) \lambda-\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} . \end{aligned}\end{align}

比较第一个和第二个式子，得

\begin{align}\begin{array}{c} a_{11}+a_{22}+a_{33}=\sum_{i=1}^{3} a_{i i}=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=\sum_{i=1}^{3} \lambda_{i}, \\ |\boldsymbol{A}|=\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} \end{array}\end{align}

在求∣A∣|\boldsymbol{A}|及A\boldsymbol{A}的特征值时会经常用到这两个性质

特征向量的性质

  1. kk重特征值λ\lambda至多只有kk个线性无关的特征向量 （直接使用，不用证明）
  2. 若ξ1,ξ2\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}是A\boldsymbol{A}的属于不同特征值λ1,λ2\lambda_{1}, \lambda_{2}的特征向量，则ξ1,ξ2\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}线性无关
  3. 若ξ1,ξ2\boldsymbol{\xi}_{1}, \boldsymbol{\xi}_{2}是A\boldsymbol{A}的属于同一特征值λ\lambda的特征向量，则k1ξ1+k2ξ2k_{1} \boldsymbol{\xi}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\xi}_{2}（k1,k2k_{1}, k_{2}是不同时为零的任意常数）仍是A\boldsymbol{A}的属于特征值λ\lambda的特征向量