矩阵和行列式的区别

行列式的表示方式：det⁡(A)=∣A∣=∣1−123∣\displaystyle \det(A)=|A|=\left|\begin{array}{ll} 1 & -1 \\ 2 &3\end{array}\right|

矩阵表示方式：A=[295985]A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 95 \\ 98 & 5 \end{array}\right]、A=(295985)A=\begin{pmatrix} 2&95 \\ 98 &5 \end{pmatrix}，这两种表示方式都是一样的

矩阵的本质

假如英语系有98个女生，2个男生；机械系有95个男生，5个女生。那么矩阵表示就为

\begin{align}\left[\begin{array}{cc} 2 & 95 \\ 98 & 5 \end{array}\right]\end{align}

在这个数表中，我们可以看到：第一列表达了英语系的男、女生人数，第二列表达了机械系的男、女生人数，而第一行表达了不同系的男生人数，第二行表达了不同系的女生人数。

\begin{align}\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 6 & 7 & 9 \\ 2 & 4 & 6 \end{array}\right]\end{align}

再看一个矩阵，我们不必再给这个矩阵赋予具体背景了，可以抽象认为这是一个系统信息的表达即可

  • 矩阵也是由若干行（列）向量拼成的——上面那个矩阵可以看作由三个行向量[1,2,3],[6,7,9][1,2,3] , [6,7,9]与[2,4,6][2,4,6]组成，也可以看作由三个列向量[1,6,2]T,[2,7,4]T[1,6,2]^{\mathrm{T}},[2,7,4]^{\mathrm{T}}与[3,9,6]T[3,9,6]^{\mathrm{T}}组成。
  • 矩阵不能运算，但是其若干行（列）向量之间可能存在着某种关系——你是否看到： [1,2,3][1,2,3]与[2,4,6][2,4,6]这两个向量是平行的（存在线性关系），而[1,2,3][1,2,3]与[6,7,9],[2,4,6][6,7,9],[2,4,6]与[6,7,9][6,7,9]之间却不存在这种线性关系。这种关系反映了矩阵的本质——矩阵的秩

矩阵的秩的定义

设A\boldsymbol{A}是m×nm \times n矩阵，A\boldsymbol{A}中最高阶非零子式的阶数称为矩阵A\boldsymbol{A}的秩，记为r(A)r(\boldsymbol{A})

也可以这样定义：若存在kk阶子式不为零，而任意k+1k+1阶子式 (如果有的话) 全为零，则 r(A)=kr(\boldsymbol{A})=k，且

r(An×n)=n⇔∣A∣≠0⇔A可逆r\left(\boldsymbol{A}_{n \times n}\right)=n \Leftrightarrow|\boldsymbol{A}| \neq 0 \Leftrightarrow \boldsymbol{A} \text {可逆}

从此定义可以看出，矩阵秩的本质就是组成该矩阵的线性无关的向量的个数。

矩阵的定义

由m×nm\times n个数aij(i=1,2,⋯ ,m;j=1,2,⋯ ,n)a_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)排成的mm行nn列的矩形表格

\begin{align}A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right]\end{align}

称为一个m×nm\times n矩阵，简记为A\boldsymbol{A}或(aij)m×n(i=1,2,⋯ ,m;j=1,2,⋅s,n)\left(a_{ij}\right)_{m\times n}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdot s,n)。当m=nm=n时，称A\boldsymbol{A}为nn阶方阵（也叫nn阶举证）。两个矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)s×k\boldsymbol{A}=\left(a_{ij}\right)_{m\times n},\boldsymbol{B}=\left(b_{ij}\right)_{s\times k}。若m=s,n=km=s,n=k，则称A\boldsymbol{A}与B\boldsymbol{B}为同型矩阵

矩阵Am×nA_{m\times n}行可以看作行向量，用表ai∗\boldsymbol{a}_{i*}示。同样的道理，矩阵的第jj列可以看作列向量，用a∗j\boldsymbol{a}_{*j}：

\begin{align}\boldsymbol{a}_{i*}=\begin{pmatrix}a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{in}\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{a}_{*j}=\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots\\a_{mj}\end{pmatrix}\end{align}

这两个向量用图来表示就是：

2

方阵

行数列数相等，且都等于nn的矩阵称为阶nn矩阵或阶方nn阵，可简记为AnA_n。比如下面是二阶方阵和三阶方阵：

\begin{align}A_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\end{align}

零矩阵

元素都是零的矩阵称为零矩阵，记做OO。比如下面是两个零矩阵：

\begin{align}\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{pmatrix}\end{align}

系数矩阵和增广矩阵

在历史上，矩阵是作为线性方程组的一种标记法引入数学的。比如下面线性方程组：

\begin{align}\begin{cases} \ \ x+2y=3\\ 3x+4y=5 \end{cases}\end{align}

未知数的名字x,yx,y根本不重要，所以可把未知数的系数提出来，用矩阵来表示，并且这样的矩阵可以称为系数矩阵：

如果把等号右边的数字一起提出来，那么称为增广矩阵（Augmented matrix）：

也可以把右边的数字用竖线隔开，本网站会根据展示的需要混用这两种符号：

\begin{align}\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&4&5 \end{pmatrix} ,\quad \left ( \begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&2\\ 3&4\\ \end{matrix}& \begin{matrix} 3\\ 5 \end{matrix} \end{array} \right )\end{align}

对角矩阵

非主对角元素均为零的矩阵称为对角矩阵

若nn阶方阵如下：

\begin{align}\Lambda_{n}=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&...&0\\0&\lambda_2&...&0\\...&...&&...\\ 0&0&...&\lambda_n\end{pmatrix}\end{align}

对角线以外的元素都是0，这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，也记作：

\begin{align}\Lambda_{n}=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)\end{align}

如果是同型的对角阵相乘，根据矩阵乘法的规则，结果会非常简单：

\begin{align}\begin{pmatrix}a_{1}&&&\\&a_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1}&&&\\&b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}&&&\\&a_{2}b_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&a_{n}b_{n}\end{pmatrix}\end{align}

单位矩阵

主对角元素均为1，其余元素全为零的nn阶方阵，称为nn阶单位矩阵，记成E\boldsymbol{E}（或I\boldsymbol{I}）

\begin{align}I_n=\begin{pmatrix}1&0&...&0\\0&1&...&0\\...&...&&...\\ 0&0&...&1\end{pmatrix}\end{align}

之所以称为单位阵，可能是因为它和单位11的作用差不多。下面具体解释下。

在实数乘法中，单位11乘上任何数aa的结果是aa：

\begin{align}1\times a=a\end{align}

而在矩阵乘法中，单位阵乘上任何矩阵AA的结果还是AA：

\begin{align}\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&4&5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&4&5 \end{pmatrix}\end{align}

或者：

\begin{align}\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&4&5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 3&4&5 \end{pmatrix}\end{align}

数量矩阵

数kk和单位矩阵的乘积称为数量矩阵，kk可以是任何数。换句话说，数量矩阵就是主对角线上元素都是同一个数值，其余元素都是零。

\begin{align}I=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right], 3 I=\left[\begin{array}{lll} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right]\end{align}

上（下）三角矩阵

当i>(<)ji>(<)j时，aij=0a_{ij}=0的矩阵称为上（下）三角矩阵

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对称矩阵

满足条件AT=A\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}的矩阵A\boldsymbol{A}称为对称矩阵，AT=A⇔aij=aji\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}\Leftrightarrow a_{ij}=a_{ji}

比如下面就是对称矩阵：

\begin{align}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & -5\\ 3 & -5 & 6\end{pmatrix}^\mathrm{T} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & -5\\ 3 & -5 & 6\end{pmatrix}\end{align}

反对称矩阵

满足条件AT=−A\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{A}的矩阵A\boldsymbol{A}称为反对称矩阵

\begin{align}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=-\boldsymbol{A} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} a_{i j}=-a_{j i}, i \neq j \\ a_{i i}=0 \end{array}\right.\end{align}

下面就是反对称矩阵：

\begin{align}\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0\end{pmatrix}^\mathrm{T} = -\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & 0\end{pmatrix}\end{align}

正交矩阵

设A\boldsymbol{A}是nn阶方阵，满足ATA=E\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}，则称A\boldsymbol{A}是正交矩阵。

A\boldsymbol{A}是正交矩阵⇔ATA=E⇔AT=A−1⇔A\Leftrightarrow\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}\Leftrightarrow\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{-1}\Leftrightarrow\boldsymbol{A}的行（列）向量组是标准正交向量组。

设A=[a1a2a3b1b2b3c1c2c3]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right]，且记

\begin{align}\boldsymbol{\alpha}=\left[a_{1},a_{2},a_{3}\right]^{\mathrm{T}},\quad\boldsymbol{\beta}=\left[b_{1},b_{2},b_{3}\right]^{\mathrm{T}},\quad\boldsymbol{\gamma}=\left[c_{1},c_{2},c_{3}\right]^{\mathrm{T}}\end{align}

则由

\begin{align}\boldsymbol{A A}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}\right]=\boldsymbol{E}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\end{align}

可得

\begin{align}\left\{\begin{array}{l} a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=1 \Rightarrow\|\boldsymbol{\alpha}\|=1, \\ b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}=1 \Rightarrow\|\boldsymbol{\beta}\|=1, \\ c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}=1 \Rightarrow\|\boldsymbol{\gamma}\|=1, \\ a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}=0 \Rightarrow(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=0, \text { 即 } \boldsymbol{\alpha} \text { 与 } \boldsymbol{\beta} \text { 正交, } \\ a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+a_{3} c_{3}=0 \Rightarrow(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\gamma})=0, \text { 即 } \boldsymbol{\alpha} \text { 与 } \boldsymbol{\gamma} \text { 正交, } \\ b_{1} c_{1}+b_{2} c_{2}+b_{3} c_{3}=0 \Rightarrow(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma})=0, \text { 即 } \boldsymbol{\beta} \text { 与 } \boldsymbol{\gamma} \text { 正交, } \end{array}\right.\end{align}

即A\boldsymbol{A}是由两两正交的单位向量组（称为规范正交基）组成

分块矩阵

矩阵的分块

用几条纵线和横线把一个矩阵分成若干小块，每一小块称为原矩阵的子块。把子块看作原矩阵的一个元素，就得到了分块矩阵。

如A\boldsymbol{A}按行分块：

\begin{align}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ \hdashline a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \hdashline \vdots & \vdots & & \vdots \\ \hdashline a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m m} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{A}_{1} \\ \boldsymbol{A}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{A}_{m} \end{array}\right]\end{align}

其中，Ai=[ai1,ai2,⋯ ,ain](i=1,2,⋯ ,m)\boldsymbol{A}_{i}=\left[a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}\right](i=1,2,\cdots,m)是A\boldsymbol{A}的一个子块

B\boldsymbol{B}按列分块：

\begin{align}\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{c:c:c:c} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1 n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{m 1} & b_{m 2} & \cdots & b_{m n} \end{array}\right]=\left[\boldsymbol{B}_{1}, \boldsymbol{B}_{2}, \cdots, \boldsymbol{B}_{n}\right]\end{align}

其中，Bj=[b1j,b2j,⋯ ,bmj]T(j=1,2,⋯ ,n)\boldsymbol{B}_{j}=\left[b_{1j},b_{2j},\cdots,b_{mj}\right]^{\mathrm{T}}(j=1,2,\cdots,n)是B\boldsymbol{B}的一个子块

分块矩阵的基本运算（以2×22\times 2型分块矩阵为例）

加法：同型，且分法一致，则[A1A2A3A4]+[B1B2B3B4]=[A1+B1A2+B2A3+B3A4+B4]\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A}_{1} & \boldsymbol{A}_{2} \\ \boldsymbol{A}_{3} & \boldsymbol{A}_{4}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{B}_{1} & \boldsymbol{B}_{2} \\ \boldsymbol{B}_{3} & \boldsymbol{B}_{4}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A}_{1}+\boldsymbol{B}_{1} & \boldsymbol{A}_{2}+\boldsymbol{B}_{2} \\ \boldsymbol{A}_{3}+\boldsymbol{B}_{3} & \boldsymbol{A}_{4}+\boldsymbol{B}_{4}\end{array}\right]

数乘：k[ABCD]=[kAkBkCkD]k\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{D}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}k \boldsymbol{A} & k \boldsymbol{B} \\ k \boldsymbol{C} & k \boldsymbol{D}\end{array}\right]

乘法：要可乘、可加，[ABCD][XYZW]=[AX+BZAY+BWCX+DZCY+DW]\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{D}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{X} & \boldsymbol{Y} \\ \boldsymbol{Z} & \boldsymbol{W}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{Z} & \boldsymbol{A} \boldsymbol{Y}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{W} \\ \boldsymbol{C X}+\boldsymbol{D} \boldsymbol{Z} & \boldsymbol{C} \boldsymbol{Y}+\boldsymbol{D} \boldsymbol{W}\end{array}\right]

注意事项

对于乘法的运算要注意，分块相乘后，左边的矩阵仍在左边，右边的矩阵仍在右边。若A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}分别为m,nm, n阶方阵，则分块对角矩阵的幂为

\begin{align}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right]^{n}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{A}^{n} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{n} \end{array}\right]\end{align}

子式

可以和行列式的余子式归到一个地方来讲

在m×nm \times n矩阵A\boldsymbol{A}中，任取kk行与kk列（k≤m,k≤nk \leq m, k \leq n），位于这些行、列交叉处的k2k^{2}个元素，不改变它们在A\boldsymbol{A}中所处的位置次序而得的kk阶行列式，称为矩阵A\boldsymbol{A}的kk阶子式。

比如3×43 \times 4矩阵A=(123456789101112)\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12\end{array}\right)，取其中的一、三行和一、四列：
2

交叉处总共有44个元素，保持相对位置不变构成的二阶行列式∣14912∣\left|\begin{array}{cc}1 & 4 \\ 9 & 12\end{array}\right|就是该矩阵A\boldsymbol{A}的一个二阶子式。

主子式与顺序主子式

设A\boldsymbol{A}是m×nm\times n的矩阵，II是集合{1,…,m}\{1,\ldots,m\}的一个kk元子集，JJ是集合{1,…,n}\{1,\ldots,n\}的一个kk元子集，∣A∣I,J|\boldsymbol{A}|_{I,J}是A\boldsymbol{A}的kk阶子式，其中抽取的kk行的行号是II中所有元素，kk列的列号是JJ中所有元素。那么：

  • 如果I=JI=J，称∣A∣I,J|\boldsymbol{A}|_{I,J}为A\boldsymbol{A}的kk阶主子式
  • 如果I=J={1,⋯ ,k}I=J=\{1,\cdots,k\}所取的是左起前kk列和上起前kk行，称∣A∣I,J|\boldsymbol{A}|_{I,J}为A\boldsymbol{A}的kk阶顺序主子式

比如3×43\times4矩阵A=(123456789101112)\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{array}\right)，取其中的一、三行和一、三列，所取的行号、列号相同，得到的二阶行列式∣13911∣\left|\begin{array}{cc}1&3\\9&11\end{array}\right|就是该矩阵A\boldsymbol{A}的一个二阶主子式：

2

而取前一行一列得到的就是一阶顺序主子式，取前二行二列得到的就是二阶顺序主子式，取前三行三列得到的就是三阶顺序主子式：

2

子式与秩的关系

设在矩阵A\boldsymbol{A}中有一个不等于00的rr阶子式Br\boldsymbol{B}_{r}，且所有r+1r+1阶子式(如果存在的话)全等于00，那么Br\boldsymbol{B}_{r}称为矩阵A\boldsymbol{A}的最高阶非零子式，数rr称为矩阵A\boldsymbol{A}的秩。

矩阵基本运算

相等

A=(aij)m×n=B=(bij)s×k⇔m=s,n=k\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}=\boldsymbol{B}=\left(b_{i j}\right)_{s \times k} \Leftrightarrow m=s, n=k，且aij=bij(i=1,2,⋯ ,m;j=1,2,⋯ ,n)a_{i j}=b_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)，即 A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}是同型矩阵，且对应元素相等。

加法

两个矩阵是同型矩阵时，可以相加，即

\begin{align}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}+\left(b_{i j}\right)_{m \times n}=\left(c_{i j}\right)_{m \times n}\end{align}

其中，cij=aij+bij(i=1,2,⋯ ,m;j=1,2,⋯ ,n)c_{i j}=a_{i j}+b_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)，即对应元素相加。

例子

\begin{align}\begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 1+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 8 & 5 & 0 \end{bmatrix}\end{align}

数乘矩阵

设kk是一个数，A\boldsymbol{A}是一个m×nm \times n矩阵，数kk和A\boldsymbol{A}的乘积称为数乘矩阵，即

\begin{align} k \boldsymbol{A} & =\boldsymbol{A} k=k\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} k a_{11} & k a_{12} & \cdots & k a_{1 n} \\ k a_{21} & k a_{22} & \cdots & k a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ k a_{m 1} & k a_{m 2} & \cdots & k a_{m n} \end{array}\right] \\ & =\left(k a_{i j}\right)_{m \times n} \end{align}

即A\boldsymbol{A}的每个元素都乘以kk

例子

\begin{align}2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot (-3) \\ 2\cdot 4 & 2\cdot (-2) & 2\cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}\end{align}

加法运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算, 满足下列运算规律：

交换律A+B=B+A\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}

结合律(A+B)+C=A+(B+C)(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})+\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C})

分配律k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lAk(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=k \boldsymbol{A}+k \boldsymbol{B},(k+l) \boldsymbol{A}=k \boldsymbol{A}+l \boldsymbol{A}

数和矩阵相乘的结合律k(lA)=(kl)A=l(kA)\quad k(l \boldsymbol{A})=(k l) \boldsymbol{A}=l(k \boldsymbol{A})

其中，A,B,C\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}同型矩阵，k,lk, l是任意常数。

注意事项

  • ∣kA∣=kn∣A∣≠k∣A∣(n⩾2,k≠0,1)|k \boldsymbol{A}|=k^{n}|\boldsymbol{A}| \neq k|\boldsymbol{A}|(n \geqslant 2, k \neq 0,1)

  • 一般地∣A+B∣≠∣A∣+∣B∣|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}| \neq|\boldsymbol{A}|+|\boldsymbol{B}|

    举个例子

    \begin{align}\begin{array}{l} &A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right) \\& \Rightarrow A+B=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)=0 \\& \Rightarrow|A+B|=0 \\\end{array}\\ 但是\quad|A|=1,|B|=1\Rightarrow |A|+|B|=2\end{align}

  • A≠O⇏∣A∣≠0\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O} \not \Rightarrow|\boldsymbol{A}| \neq 0

    举个例子

    \begin{align}&A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)\ne 0 \\& 但是 |A|=0\end{align}

  • A≠B⇏∣A∣≠∣B∣\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{B} \not \Rightarrow|\boldsymbol{A}| \neq|\boldsymbol{B}|

    举个例子

    \begin{align}&A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\0 &-1\end{array}\right)\\& |A|=1,|B|=1\end{align}

矩阵的乘法

设A\boldsymbol{A}是m×sm \times s矩阵，B\boldsymbol{B}是s×ns \times n矩阵（矩阵A\boldsymbol{A}的列数必须与矩阵B\boldsymbol{B}的行数相等），则 A,B\boldsymbol{A} , \boldsymbol{B}可以相乘，乘积AB\boldsymbol{A B}是m×nm \times n矩阵，记C=AB=(cij)m×n\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left(c_{i j}\right)_{m \times n}。C\boldsymbol{C}的第ii行第jj列元素cijc_{i j}是A\boldsymbol{A}的第ii行的ss个元素与B\boldsymbol{B}的第jj列的ss个对应元素两两乘积之和，即

\begin{align}c_{i j}=\sum_{k=1}^{s} a_{i k} b_{k j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i s} b_{s j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)\end{align}

乘法举例

上述定义的意思是，用左侧矩阵的行向量点积（内积）上右侧矩阵的列向量可以得到矩阵中的每个元素：

2

所以该定义又称为矩阵乘法的点积（内积）观点，点积（内积）观点非常适合用于口算矩阵乘法：

2

结合律

\begin{align}\quad\left(\boldsymbol{A}_{m \times s} \boldsymbol{B}_{s \times r}\right) \boldsymbol{C}_{r \times n}=\boldsymbol{A}_{m \times s}\left(\boldsymbol{B}_{s \times r} \boldsymbol{C}_{r \times n}\right)\end{align}

分配律

\begin{align}\begin{array}{l} \boldsymbol{A}_{m \times s}\left(\boldsymbol{B}_{s \times n}+\boldsymbol{C}_{s \times n}\right)=\boldsymbol{A}_{m \times{ }^{2}} \boldsymbol{B}_{s \times n}+\boldsymbol{A}_{m \times s} \boldsymbol{C}_{s \times n}, \\ \left(\boldsymbol{A}_{m \times s}+\boldsymbol{B}_{m \times s}\right) \boldsymbol{C}_{s \times n}=\boldsymbol{A}_{m \times s} \boldsymbol{C}_{s \times n}+\boldsymbol{B}_{m \times s} \boldsymbol{C}_{s \times n} ; \end{array}\end{align}

数乘与矩阵乘积的结合律

\begin{align}\left(k \boldsymbol{A}_{m \times s}\right) \boldsymbol{B}_{s \times n}=\boldsymbol{A}_{m \times s}\left(k \boldsymbol{B}_{s \times n}\right)=k\left(\boldsymbol{A}_{m \times s} \boldsymbol{B}_{s \times n}\right)\end{align}

注意事项

矩阵的乘法一般情况下不满足交换律，即AB≠BA\boldsymbol{AB}\neq\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}

\begin{align}\begin{array}{c} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right], \\ \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right], \\ \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & 2 \\ -2 & -2 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{B} \boldsymbol{A} \end{array}\end{align}

由上面的例子知，存在A≠O,B≠O\boldsymbol{A}\neq\boldsymbol{O},\boldsymbol{B}\neq\boldsymbol{O}，而AB=O\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{O}的情况，故AB=O⇏A=O\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{O} \not \Rightarrow \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}或B=O\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}

AB=AC⇒A(B−C)=O\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{AC}\Rightarrow\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{C})=\boldsymbol{O}，此时即使有A≠O\boldsymbol{A}\neq\boldsymbol{O}，一般也得不出B=C\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}

转置矩阵

将m×nm\times n矩阵A=(aij)m×n\boldsymbol{A}=\left(a_{ij}\right)_{m\times n}的行与列互换得到的n×mn\times m矩阵，称为矩阵A\boldsymbol{A}的转置矩阵，记为AT\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}，即

\begin{align}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m 1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m 2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right]\end{align}

转置运算可以用如下动画来表示，并且可以看出重复转置运算可以得到原矩阵：

2

行向量、列向量在参与矩阵运算时是有区别的，所以用x\boldsymbol{x}表示列向量，它的转置xT\boldsymbol{x}^\mathrm{T}表示行向量：

\begin{align}\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{x}^\mathrm{T}=(a_1,a_2,...,a_n)\end{align}

转置矩阵满足下列运算规律：

  1. (AT)T=A\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}
  2. (kA)T=kAT(k\boldsymbol{A})^{\mathrm{T}}=k\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}
  3. (A+B)T=AT+BT(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}
  4. (AB)T=BTAT(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B})^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}
  5. 当m=nm=n时，∣AT∣=∣A∣\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=|\boldsymbol{A}|

其中(AB)T=BTAT(AB)^\mathrm{T}=B^\mathrm{T}A^\mathrm{T}比较常用，我们着重解释下。通过矩阵乘法点积观点，可知ABAB中的每个元素都是AA中的行向量和BB中的列向量点积的结果：

2

那么(AB)T(AB)^\mathrm{T}可以通过下面这幅动画理解：

2

向量的内积与正交

内积/点积

设α=[a1,a2,⋯ ,an]T,β=[b1,b2,⋯ ,bn]T\boldsymbol{\alpha}=\left[a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right]^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\beta}=\left[b_{1},b_{2},\cdots,b_{n}\right]^{\mathrm{T}}，则称

\begin{align}\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\beta}=\left[a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right]\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\\cdots\\ b_n\\\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n}\end{align}

为向量α,β\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}的内积，记作(α,β)(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})，即(α,β)=αTβ(\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\beta}

矩阵的运算可以参考内积的方式

1

内积，点积，数量积或者标量积，高中甚至大学里都认为三者是等同的，是因为这个阶段学的概念都限定在欧几里得空间中。这是我们最熟悉的空间。

然而你再往后学习，会发现欧几里得空间是内积空间的一种特殊情况：

在实数域且有限维的内积空间被称作欧几里得空间。

2

正交

当αTβ=0\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\beta}=0时，称向量α,β\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\beta}是正交向量

模

∥α∥=∑i=1nai2\|\boldsymbol{\alpha}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}称为向量α\boldsymbol{\alpha}的模（长度）

∥α∥=1\|\boldsymbol{\alpha}\|=1时，称α\boldsymbol{\alpha}为单位向量

标准正交向量组（标准正交基）

若列向量组α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}满足

\begin{align}\boldsymbol{\alpha}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_{j}=\left\{\begin{array}{ll} 0, & i \neq j, \\ 1, & i=j, \end{array}\right.\end{align}

如果只满足αiTαj=0\boldsymbol{\alpha}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_{j}=0那么就称其为正交基。如果还满足αiTαj=1\boldsymbol{\alpha}_{i}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_{j}=1，则称α1,α2,⋯ ,αs\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}为标准或单位正交向量组（标准正交基）。

2

施密特正交化（又称正交规范化）过程

线性无关向量组α1,α2\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2}的标准正交化(又称正交规范化)公式为

\begin{align}\begin{array}{l} \boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}, \\ \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\frac{\left(\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}\right)}{\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{1}\right)} \boldsymbol{\beta}_{1}, \end{array}\end{align}

得到β1,β2\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2}是正交向量组。

将β1,β2\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2}单位化，得

\begin{align}\boldsymbol{\eta}_{1}=\frac{\boldsymbol{\beta}_{1}}{\left\|\boldsymbol{\beta}_{1}\right\|},\quad\boldsymbol{\eta}_{2}=\frac{\boldsymbol{\beta}_{2}}{\left\|\boldsymbol{\beta}_{2}\right\|}\end{align}

则η1,η2\boldsymbol{\eta}_{1},\boldsymbol{\eta}_{2}是标准正交向量组。

例题

设向量组α1=[1,1,1]T,α2=[0,1,1]T\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,1,1]^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\alpha}_{2}=[0,1,1]^{\mathrm{T}}，用施密特正交化方法将向量组α1,α2\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2}化成标准正交向量组。

解：(α1,α2=2≠0)(\alpha_1,\alpha_2=2\ne 0)，所以取β1=α1=[1,1,1]T\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}=[1,1,1]^{\mathrm{T}}

\begin{align}\boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\frac{\left(\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}\right)}{\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{1}\right)} \boldsymbol{\beta}_{1}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]-\frac{2}{3}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{2} \end{array}\right]\end{align}

将β1,β2\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2}单位化，得

\begin{align}\boldsymbol{\xi}_{1}=\frac{\boldsymbol{\beta}_{1}}{\left\|\boldsymbol{\beta}_{1}\right\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{\xi}_{2}=\frac{\boldsymbol{\beta}_{2}}{\left\|\boldsymbol{\beta}_{2}\right\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]\end{align}

则ξ1,ξ2\xi_{1},\xi_{2}即为所求的标准正交向量组。

矩阵的幂

A\boldsymbol{A}是一个nn阶方阵，Am=AA⋯A⏞m个\boldsymbol{A}^m=\overbrace{\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}\cdots\boldsymbol{A}}^{m\text{个}}称为A\boldsymbol{A}的mm次幂

注意事项

  • 因矩阵乘法不满足交换律，故一般地

    (A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(A−B)2=A2−AB−BA+B2≠A2−2AB+B2(A+B)(A−B)=A2+BA−AB−B2≠A2−B2(AB)m=(AB)(AB)⋯(AB)⏞m个≠AmBm\begin{array}{l} (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}^{2} \neq \boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2} \\ (\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A B}-\boldsymbol{B A}+\boldsymbol{B}^{2} \neq \boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2} \\ (\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})=\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{B A}-\boldsymbol{A B}-\boldsymbol{B}^{2} \neq \boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{B}^{2} \\ (\boldsymbol{A B})^{m}=\overbrace{(\boldsymbol{A B})(\boldsymbol{A B}) \cdots(\boldsymbol{A B})}^{m \text{个}} \neq \boldsymbol{A}^{m} \boldsymbol{B}^{m} \end{array}

  • 若f(x)=a0+a1x+⋯+amxmf(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{m}x^{m}，则

    f(A)=a0E+a1A+⋯+amAmf(\boldsymbol{A})=a_{0}\boldsymbol{E}+a_{1}\boldsymbol{A}+\cdots+a_{m}\boldsymbol{A}^{m}

方阵乘积的行列式

设A,B\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}是同阶方阵，则∣AB∣=∣A∥B∣|\boldsymbol{AB}|=|\boldsymbol{A}\|\boldsymbol{B}|

一些重要的例题

设f(x)=x2−5x+3,A=[2−1−33]f(x)=x^{2}-5 x+3, \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -3 & 3\end{array}\right]，定义f(A)=A2−5A+3Ef(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}^{2}-5 \boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}，称其为矩阵A\boldsymbol{A}的多项式，则f(A)f(\boldsymbol{A})等于多少

解：矩阵A\boldsymbol{A}的多项式是将多项式f(x)f(x)中变量xx用矩阵A\boldsymbol{A}置换得到，注意，其中常数项改为3A0=3E3 \boldsymbol{A}^{0}=3 \boldsymbol{E}，计算要严格按照先做幂和数乘运算，再做加法运算的顺序。

\begin{align} f(\boldsymbol{A}) & =\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 3 \end{array}\right]-5\left[\begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -3 & 3 \end{array}\right]+3\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \\ & =\left[\begin{array}{cc} 7 & -5 \\ -15 & 12 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc} 10 & -5 \\ -15 & 15 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] \end{align}

设α=[a1,a2,a3]T,β=[b1,b2,b3]T,A=αβT\boldsymbol{\alpha}=\left[a_{1},a_{2},a_{3}\right]^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\beta}=\left[b_{1},b_{2},b_{3}\right]^{\mathrm{T}},\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}，则An\boldsymbol{A}^{n}等于多少

解：

\begin{align} & \\ \boldsymbol{A}^{n} & =\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right)\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right) \cdots\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right)=\boldsymbol{\alpha}\left(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)\left(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right) \cdots\left(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right) \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \\ & =\left(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)^{n-1} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\left(\left[b_{1}, b_{2}, b_{3}\right]\left[\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right]\right)^{n-1}\left[\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right]\left[b_{1}, b_{2}, b_{3}\right]=\left(\sum_{i=1}^{3} a_{i} b_{i}\right)^{n-1} \boldsymbol{A} \end{align}

注意事项

  • 矩阵乘法没有交换律，但结合律、分配律是成立的，要充分运用。利用结合律是本题简化运算的关键，因βTα\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{\alpha}是数（一阶矩阵），可提到前面

  • 本题显然具有代表性

    若α=[1,2,3]T,β=[1,12,13]T\boldsymbol{\alpha}=[1,2,3]^{\mathrm{T}},\boldsymbol{\beta}=\left[1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right]^{\mathrm{T}}，则(αβT)n=(βTα)n−1αβT=3n−1[1121321233321]\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right)^{n}=\left(\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)^{n-1} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=3^{n-1}\left[\begin{array}{lll} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ 2 & 1 & \frac{2}{3} \\ 3 & \frac{3}{2} & 1 \end{array}\right]

    若α=β=[a1,a2,a3]T\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}=\left[a_{1}, a_{2}, a_{3}\right]^{\mathrm{T}}，则(αβT)n=(αTα)n−1ααT=(∑i=13ai2)n−1ααT\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}\right)^{n}=\left(\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}\right)^{n-1} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\left(\sum_{i=1}^{3} a_{i}^{2}\right)^{n-1} \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}

  • r(A)=r([a1b1a1b2a1b3a2b1a2b2a2b3a3b1a3b2a3b3])=1r(\boldsymbol{A})=r\left(\left[\begin{array}{lll}a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & a_{1} b_{3} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & a_{2} b_{3} \\ a_{3} b_{1} & a_{3} b_{2} & a_{3} b_{3}\end{array}\right]\right)=1， 行向量（或列向量）成比例，列向量与α=[a1,a2,a3]T\boldsymbol{\alpha}=\left[a_{1}, a_{2}, a_{3}\right]^{\mathrm{T}}成比例，比例系数为b1,b2,b3b_{1}, b_{2}, b_{3}，提出比例系数，有

    \begin{align}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & a_{1} b_{3} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & a_{2} b_{3} \\ a_{3} b_{1} & a_{3} b_{2} & a_{3} b_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right]\left[b_{1}, b_{2}, b_{3}\right]\end{align}

上式从右到左是做乘法，从左到右是将A\boldsymbol{A}分解。当r(A)=1r(\boldsymbol{A})=1时，都可作这种分解。以后可以看到，众多题目用到这种分解方法，读者需牢记

特殊的方法

  • AA是方阵，r(A)=1⇒An=[tr⁡(A)n−1]Ar(\boldsymbol{A})=1\Rightarrow A^{n}=[\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})^{n-1}]A，tr⁡(A)=∑i=1naii\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}叫做AA的迹

设A=[010001000]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]，求A10\boldsymbol{A}^{10}
解：一般情况下，计算方阵的高次幂，应从矩阵的二次幂开始，逐步增加幂次，在这个过程中，注意找出规律，如有规律可循，应由公式推出结果，如无特定规律，应充分利用性质，尽可能减少运算次数。

\begin{align}\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^{10}=\left(\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^{2}\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^{2}\right]^{2}\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^{2},} \\ {\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^{2}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right],} \\ {\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^{2}\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^{2}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right],} \\ \boldsymbol{A}^{10}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \\ \end{array}\end{align}

特殊的方法

  • 试算A2,A3A^{2} ,A^{3}等就等得出后面的结果

设A=[1−1−1−1−11−1−1−1−11−1−1−1−11]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right]，则A9\boldsymbol{A}^{9}的值为多少
解：

\begin{align}\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{llll} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}\right]=4 \boldsymbol{E}\end{align}

故有A9=(A2)4A=44A=256A\boldsymbol{A}^{9}=\left(\boldsymbol{A}^{2}\right)^{4} \boldsymbol{A}=4^{4} \boldsymbol{A}=256 \boldsymbol{A}

已知A=[110011001]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]，求An\boldsymbol{A}^{n}

解

\begin{align}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B}\end{align}

则

\begin{align}\boldsymbol{A}^{n}&=(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B})^{n}\\&=\boldsymbol{E}^{n}+n \boldsymbol{E}^{n-1} \boldsymbol{B}+\frac{n(n-1)}{2 !} \boldsymbol{E}^{n-2} \boldsymbol{B}^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} \boldsymbol{E}^{n-3} \boldsymbol{B}^{3}+\cdots+\boldsymbol{B}^{n}\end{align}

因E\boldsymbol{E}和任何矩阵可交换，故展开式和初等代数中的展开式一样。因

\begin{align}\begin{array}{c} \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{B}^{2}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \\ \boldsymbol{B}^{3}=\boldsymbol{B}^{2} \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right], \end{array}\end{align}

故Bk=O,k⩾3\boldsymbol{B}^{k}=\boldsymbol{O}, k \geqslant 3,所以

\begin{align}\begin{aligned} \boldsymbol{A}^{n} & =\boldsymbol{E}+n \boldsymbol{B}+\frac{n(n-1)}{2} \boldsymbol{B}^{2} \\ & =\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll} 0 & n & 0 \\ 0 & 0 & n \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & n & \frac{n(n-1)}{2} \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] . \end{aligned}\end{align}

因单位矩阵和任何同阶方阵可交换，故本题将A\boldsymbol{A}分解成A=E+B\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B}，再利用主对角元素为零的上三角矩阵B\boldsymbol{B}，有Bn=O(n⩾3)\boldsymbol{B}^{n}=\boldsymbol{O}(n \geqslant 3)的特性，来求解An\boldsymbol{A}^{n}是非常方便的。

特殊的方式

An=(B+C)n=A^{n}=(B+C)^{n}=二项式项展开成，BC=CBB C=C B

与向量α1=[2,−1,−3],α2=[−3,1,5]\boldsymbol{\alpha}_{1}=[2,-1,-3],\boldsymbol{\alpha}_{2}=[-3,1,5]都正交的单位向量β∘\boldsymbol{\beta}^{\circ}为多少

解：设向量β=[x1,x2,x3]\boldsymbol{\beta}=\left[x_{1},x_{2},x_{3}\right]与α1,α2\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2}都正交，则有

{(α1,β)=2x1−x2−3x3=0(α2,β)=−3x1+x2+5x3=0\left\{\begin{array}{l} \left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\beta}\right)=2 x_{1}-x_{2}-3 x_{3}=0\\ \left(\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}\right)=-3 x_{1}+x_{2}+5 x_{3}=0 \end{array}\right.

解方程组

[2−1−3−315]⟶[−102−315]⟶[−10201−1]\left[\begin{array}{ccc} 2 & -1 & -3 \\ -3 & 1 & 5 \end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 2 \\ -3 & 1 & 5 \end{array}\right] \longrightarrow\left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right]

解得β=k[2,1,1]\boldsymbol{\beta}=k[2,1,1]，kk是任意常数

取β∘=±β∥β∥=±16[2,1,1]\boldsymbol{\beta}^{\circ}=\frac{\pm\boldsymbol{\beta}}{\|\boldsymbol{\beta}\|}=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}[2,1,1]，则β∘\boldsymbol{\beta}^{\circ}为所求的与α1,α2\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2}都正交的单位向量