全篇的内容都在讲如何求解矩阵的逆

方法适用范围

定义法：解决抽象型问题

初等变换法：解决具体型的问题

伴随法：解决具体型的问题

矩阵的逆

存在性

只有双射函数f(x)f(x)，有反函数f−1(x)f^{-1}(x)：

双射函数

反函数

同样的道理，只有矩阵函数为双射时才有反函数，所以根据矩阵函数双射的条件有：

当矩阵A\boldsymbol{A}为满秩矩阵时，对应的矩阵函数为双射，此时存A\boldsymbol{A}在反函数，称为A\boldsymbol{A}可逆。其反函数记作A−1\boldsymbol{A}^{-1}，称为A\boldsymbol{A}的逆矩阵。

比如，下面是某满秩矩阵A\boldsymbol{A}，在它的作用下矩形变为了平行四边形：

1

而在它的反函数，或者说逆矩阵A−1\boldsymbol{A}^{-1}的作用下，图形又变回了原来的样子，这就是逆矩阵的几何意义：

3

如果B\boldsymbol{B}不是满秩矩阵，在它的作用下矩形变成了线段，信息丢失了没有办法变回原来的矩形了（就好像易拉罐被踩扁了，没法复原了)，所以没有逆矩阵：

2

定义

A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}是nn阶方阵，E\boldsymbol{E}是nn阶单位矩阵, 若AB=BA=E\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}，则称A\boldsymbol{A}是可逆矩阵，并称B\boldsymbol{B}是A\boldsymbol{A}的逆矩阵，且逆矩阵是唯一的，记作A−1\boldsymbol{A}^{-1}

之前学习过单位阵的几何意义，在它的作用下，图形不会发生变化：

2

因此，单位阵和AA、A−1A^{-1}的复合的效果是相同的，即有：

\begin{align}I=AA^{-1}=A^{-1}A\end{align}

A\boldsymbol{A}可逆的充分必要条件是∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0。当∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0时，A\boldsymbol{A}可逆，且

\begin{align}\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{*}\end{align}

逆矩阵的性质与重要公式

设A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}是同阶可逆矩阵,则

  • (A−1)−1=A\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=\boldsymbol{A}

  • 若k≠0k \neq 0，则(kA)−1=1kA−1(k \boldsymbol{A})^{-1}=\frac{1}{k} \boldsymbol{A}^{-1}

  • AB\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}也可逆，且(AB)−1=B−1A−1(\boldsymbol{A B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}

  • AT\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}也可逆，且 (AT)−1=(A−1)T\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}

    【注】此处可称为 “穿脱”原则，即穿衣时先内后外，脱衣时先外后内.

  • ∣A−1∣=∣A∣−1\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=|\boldsymbol{A}|^{-1}

    【注】A+B\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}不一定可逆，且(A+B)−1≠A−1+B−1(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1} \neq \boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}

用定义求逆矩阵的方法

方法一

依定义，即求一个矩阵B\boldsymbol{B}，使AB=E\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}，则A\boldsymbol{A}可逆，且A−1=B\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{B}

方法二

将A\boldsymbol{A}分解成若干个可逆矩阵的乘积。因两个可逆矩阵的积仍是可逆矩阵，即若 A=BC\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}，其中， B,C\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}均可逆，则A\boldsymbol{A}可逆，且

\begin{align}\boldsymbol{A}^{-1}=(\boldsymbol{B} \boldsymbol{C})^{-1}=\boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{B}^{-1}\end{align}

方法三

一些简单分块矩阵的逆。若A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}均是可逆方阵，则

\begin{align}\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O} \end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1} \\ \boldsymbol{A}^{-1} & \boldsymbol{O} \end{array}\right]\end{align}

伴随矩阵

定义

将行列式∣A∣|\boldsymbol{A}|的代数余子式AijA_{ij}所构成的矩阵，称为A\boldsymbol{A}的代数余子式矩阵：

\begin{align}\boldsymbol{C}= \begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\ A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix}\end{align}

其转置称为A\boldsymbol{A}的伴随矩阵，记作A∗\boldsymbol{A}^{*}：

\begin{align}\boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{C}^\mathrm{T}= \begin{pmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix}\end{align}

根据可逆和行列式的关系可知，若∣A∣≠0|\boldsymbol{A}|\neq 0，则矩阵A\boldsymbol{A}可逆。可证明此时有：

\begin{align}\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^{*}\end{align}

且有

\begin{align}\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}\end{align}

证明

设A=(aij)\boldsymbol{A}=(a_{ij})，记AA∗=(bij)\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{*}=(b_{ij})，根据矩阵乘法的点积观点，可知bijb_{ij}是A\boldsymbol{A}的ii行和A∗\boldsymbol{A}^{*}的列点积的结果jj，其中A\boldsymbol{A}的ii行为行向量(ai1,ai2,⋯ ,ain)(a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in})，A∗\boldsymbol{A}^{*}的jj列为列向量(Aj1Aj2⋮Ajn)\begin{pmatrix}A_{j1}\\A_{j2}\\\vdots\\A_{jn}\end{pmatrix}，所以：

\begin{align}b_{ij}=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn}\end{align}

根据拉普拉斯展开以及推论可知：

\begin{align}b_{ij}=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn}= \begin{cases}|\boldsymbol{A}|,\quad i=j\\ 0, \quad i\neq j\end{cases}\end{align}

所以，结合上矩阵数乘可得：

\begin{align}\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{*}=\begin{pmatrix}|\boldsymbol{A}|&0&\cdots&0\\ 0&|\boldsymbol{A}|&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&|\boldsymbol{A}| \end{pmatrix}=|\boldsymbol{A}|\boldsymbol{I}\end{align}

因为∣A∣≠0|\boldsymbol{A}|\neq 0，所以：

\begin{align}\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^{*}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}\end{align}

根据逆矩阵的定义可得：

\begin{align}\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}\boldsymbol{A}^{*}\end{align}

上述定理看上去有点复杂，尤其其中出现的伴随矩阵A∗\boldsymbol{A}^{*}，下面就再给出一种视角。

之前学习过，可以通过一系列初等行变换来求出逆矩阵，比如这里的例题。所以对于某矩阵A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}的逆矩阵，如果可以像下面一样，通过矩阵B\boldsymbol{B}(代表了一系列的初等行变换）将之变为对角阵，再通过矩阵C\boldsymbol{C}(也代表了一系列的初等行变换)将之变为单位阵，那么就有A−1=CB\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}。

\begin{align}\boldsymbol{C}\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}\end{align}

\begin{align}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\xrightarrow{\quad\boldsymbol{B}\quad}\begin{pmatrix}b_{11}&0&\cdots&0\\0&b_{22}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&b_{nn}\end{pmatrix}\xrightarrow{\quad\boldsymbol{C}\quad}\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\end{align}

因为之前学习了拉普拉斯展开以及推论：

\begin{align}b_{ij}=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+...+a_{in}A_{jn}= \begin{cases}|\boldsymbol{A}|,\quad i=j\\ 0, \quad i\neq j\end{cases}\end{align}

所以上面定理中介绍的伴随矩阵A∗\boldsymbol{A}^{*}就可以将矩阵A\boldsymbol{A}变为对角阵，最终变为单位阵：

\begin{align}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\xrightarrow{\quad\boldsymbol{A}^{*}\quad}\begin{pmatrix}|\boldsymbol{A}|&0&\cdots&0\\0&|\boldsymbol{A}|&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&|\boldsymbol{A}|\end{pmatrix}\xrightarrow{\quad 除以|\boldsymbol{A}|\quad}\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\end{align}

伴随矩阵的性质与重要公式

  • 对任意nn阶方阵A\boldsymbol{A}，都有伴随矩阵A∗\boldsymbol{A}^{*}，且有公式

​ \begin{align}\boldsymbol{A A}^{*}=\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}, \quad\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}\end{align}

​ 当∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0时，有

​ \begin{align}\begin{array}{l} \boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^{-1}, \quad \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{*}, \quad \boldsymbol{A}=|\boldsymbol{A}|\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1} ; \\ (k \boldsymbol{A})(k \boldsymbol{A})^{*}=|k \boldsymbol{A}| \boldsymbol{E} ; \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{*}=\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right| \boldsymbol{E} ; \\ \boldsymbol{A}^{-1}\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}=\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right| \boldsymbol{E} ; \\ \boldsymbol{A}^{*}\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}=\left|\boldsymbol{A}^{*}\right| \boldsymbol{E} \end{array}\end{align}

  • (AT)∗=(A∗)T,(A−1)∗=(A∗)−1,(AB)∗=B∗A∗,(A∗)∗=∣A∣n−2A\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{*}=\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{\mathrm{T}},\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{*}=\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1},(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{*}=\boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{*},\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}

【注】(A+B)∗≠A∗+B∗(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{*} \neq \boldsymbol{A}^{*}+\boldsymbol{B}^{*}

用伴随矩阵求逆矩阵的方法

若∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0，则A\boldsymbol{A}可逆，且A−1=1∣A∣A∗\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{*}

解题步骤

  1. 求∣A∣≠0|\boldsymbol{A}|\ne0
  2. 求A∗\boldsymbol{A}^{*}
  3. 写出A−1=1∣A∣A∗\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{*}

例题

已知A=[abcd]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]，写出A\boldsymbol{A}可逆的一个充要条件，当A\boldsymbol{A}可逆时，求A−1\boldsymbol{A}^{-1}

解：A\boldsymbol{A}可逆⇔∣A∣=∣abcd∣=ad−bc≠0\Leftrightarrow|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c \neq 0，且当ad−bc≠0a d-b c \neq 0时，

\begin{align}\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{*}=\frac{1}{a d-b c}\left[\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right]\end{align}

【注】利用公式A−1=1∣A∣A∗\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{*}求A−1\boldsymbol{A}^{-1}时，应注意：

  1. 不要忘记A∗\boldsymbol{A}^{*}要除以∣A∣|\boldsymbol{A}|
  2. A∗\boldsymbol{A}^{*}的元素是∣A∣|\boldsymbol{A}|中元素的代数余子式，注意正、负号
  3. AijA_{i j}位于矩阵A∗\boldsymbol{A}^{*}中相对于矩阵A\boldsymbol{A}的元素ajia_{j i}的位置上

对于2阶矩阵求A∗\boldsymbol{A}^{*}，只需将a11,a22a_{11}, a_{22}互换，a12,a21a_{12}, a_{21}上添加负号

求矩阵A=[101210−32−5]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5\end{array}\right]的逆矩阵

解：由∣A∣=∣101210−32−5∣=2≠0|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5\end{array}\right|=2 \neq 0，知A\boldsymbol{A}可逆

\begin{align}\begin{array}{c} A_{11}=\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & -5 \end{array}\right|=-5, \quad A_{12}=-\left|\begin{array}{cc} 2 & 0 \\ -3 & -5 \end{array}\right|=10, \quad A_{13}=\left|\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -3 & 2 \end{array}\right|=7, \\ A_{21}=-\left|\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & -5 \end{array}\right|=2, \quad A_{22}=\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -3 & -5 \end{array}\right|=-2, \quad A_{23}=-\left|\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -3 & 2 \end{array}\right|=-2, \\ A_{31}=\left|\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right|=-1, \quad A_{32}=-\left|\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\right|=2, \quad A_{33}=\left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}\right|=1, \end{array}\end{align}

因此

\begin{align}\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{*}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc} -5 & 2 & -1 \\ 10 & -2 & 2 \\ 7 & -2 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -\frac{5}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 5 & -1 & 1 \\ \frac{7}{2} & -1 & \frac{1}{2} \end{array}\right]\end{align}

设A=[120220345],A∗\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right], \boldsymbol{A}^{*}是A\boldsymbol{A}的伴随矩阵，则(A∗)−1\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}等于多少

分析：利用公式AA∗=∣A∣E\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}。当∣A∣≠0|\boldsymbol{A}| \neq 0时，有A∣A∣A∗=E\frac{\boldsymbol{A}}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{E}，故 (A∗)−1=A∣A∣\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}=\frac{\boldsymbol{A}}{|\boldsymbol{A}|}，这样不需要先求出A∗\boldsymbol{A}^{*}，再求(A∗)−1\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}

解：

\begin{align}|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5 \end{array}\right|=-10 \neq 0\end{align}

由公式AA∗=∣A∣E\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}，得A∣A∣A∗=E\frac{\boldsymbol{A}}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}^{*}=\boldsymbol{E}，故A∗\boldsymbol{A}^{*}可逆，且

\begin{align}\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}=\frac{\boldsymbol{A}}{|\boldsymbol{A}|}=-\frac{1}{10}\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right]\end{align}

设A\boldsymbol{A}是3阶矩阵，已知A−1=[211121112]\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]，则∣A∗∣\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|等于多少

解：由AA∗=∣A∣E\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}，当A\boldsymbol{A}可逆时，有

A∗=∣A∣A−1\boldsymbol{A}^{*}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{A}^{-1}

两边取行列式，得

\begin{align}\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|| \boldsymbol{A}\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n} \cdot\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=\frac{|\boldsymbol{A}|^{n}}{|\boldsymbol{A}|}=|\boldsymbol{A}|^{n-1}=\frac{1}{\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|^{n-1}}\end{align}

其中n=3n=3

\begin{align}\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=\left|\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} 0 & -3 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right|=4\end{align}

故∣A∗∣=143−1=116\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=\frac{1}{4^{3-1}}=\frac{1}{16}

设A,B\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}是nn阶方阵，∣A∣=2,∣B∣=−4|\boldsymbol{A}|=2,|\boldsymbol{B}|=-4，则∣2B∗A−1∣\left|2 \boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{-1}\right|等于多少

解：∣kA∣=kn∣A∣,∣AB∣=∣A∣∣B∣,∣A−1∣=1∣A∣,∣B∗∣=∣B∣n−1|k \boldsymbol{A}|=k^{n}|\boldsymbol{A}|,|\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}|=|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|,\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|},\left|\boldsymbol{B}^{*}\right|=|\boldsymbol{B}|^{n-1}，故

\begin{align}\left|2 \boldsymbol{B}^{*} \boldsymbol{A}^{-1}\right|=2^{n}\left|\boldsymbol{B}^{*}\right|\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=2^{n}|\boldsymbol{B}|^{n-1} \cdot \frac{1}{|\boldsymbol{A}|}=(-8)^{n-1}\end{align}

初等变换和初等矩阵

初等矩阵的定义

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，以3阶矩阵为例。

  • E2(k)=[1000k0001]\boldsymbol{E}_{2}(k)=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]，E\boldsymbol{E}的第2行（或第2列）乘kk倍，称为倍乘初等矩阵。

定义：Ei(k)(k≠0)\boldsymbol{E}_{i}(k)(k \neq 0)表示单位矩阵E\boldsymbol{E}的第ii行（或第ii列）乘以非零常数kk所得的初等矩阵。

  • E12=[010100001]\boldsymbol{E}_{12}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]，E\boldsymbol{E}的第1,2行（或第 1,2 列）互换，称为互换初等矩阵.

定义：Eij\boldsymbol{E}_{i j}表示单位矩阵E\boldsymbol{E}交换第ii行与第jj行（或交换第ii列与第jj列）所得的初等矩阵。

  • E31(k)=[100010k01]\boldsymbol{E}_{31}(k)=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ k & 0 & 1\end{array}\right]，E\boldsymbol{E}的第1行的kk倍加到第3行（或第3列的kk倍加到第1列），称为倍加初等矩阵。

定义：Eij(k)\boldsymbol{E}_{i j}(k)表示单位矩阵E\boldsymbol{E}的第jj行的kk倍加到第ii行（或第ii列的kk倍加到第jj列)）所得的初等矩阵。

初等行矩阵的作用

初等行矩阵乘上矩阵A\boldsymbol{A}，就相当于在矩阵A\boldsymbol{A}上实施了对应的初等行变换。比如将单位矩阵的二、三行进行对换就得到了该初等操作对应的初等矩阵。再将该初等矩阵乘上矩阵A\boldsymbol{A}，就相当于将矩阵A\boldsymbol{A}的二、三行进行了对换：

1

性质与重要公式

关于置换

初等矩阵的转置仍是初等矩阵

\begin{align}E_{i j}^{T}=E_{i j} ,\quad E_{i}^{T}(k)=E_{i}(k), \quad E_{i j}^{\top}(k)=E_{j i}(k)\end{align}

关于行列式

因

\begin{align}\left|\boldsymbol{E}_{i}(k)\right|=k \neq 0, \quad\left|\boldsymbol{E}_{i j}\right|=-1 \neq 0, \quad\left|\boldsymbol{E}_{i j}(k)\right|=1 \neq 0,\end{align}

故初等矩阵都是可逆矩阵，且

\begin{align}\left[\boldsymbol{E}_{i}(k)\right]^{-1}=\boldsymbol{E}_{i}\left(\frac{1}{k}\right), \quad \boldsymbol{E}_{i j}^{-1}=\boldsymbol{E}_{i j}, \quad\left[\boldsymbol{E}_{i j}(k)\right]^{-1}=\boldsymbol{E}_{i j}(-k),\end{align}

其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵。

关于可逆矩阵

若AA是可逆矩阵，则AA可以表示成有限个初等矩阵的乘积，即A=P1P2⋯PsA=P_{1}P_{2}\cdots P_{s}，其中$P_{1},P_{2},P_{3},\cdots,P_{s} $是初等矩阵

关于矩阵的变换

对nn阶矩阵AA进行初等行变换，相当于矩阵AA左乘相应的初等矩阵。同样，对AA进行初等列变换，相当于矩阵AA右乘相应的初等矩阵。（口诀：左行右列定理）

举个例子

单位矩阵为E=[1001]E=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 &1 \end{bmatrix}​，初等变换矩阵为E12=[0110]E_{12}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 &0 \end{bmatrix}，矩阵A=[1−123]A=\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 3 \end{bmatrix}

可以看到下面的两个运输，如果初等矩阵在左边那么就是行变换，如果是在右边就是列变换

\begin{align}E_{12}A=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 &0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 3\\ 1 & -1 \end{bmatrix}&\\ AE_{12}=\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 &0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 1\\ 3 & 2 \end{bmatrix}\end{align}

用初等变换求逆矩阵的方法（高斯若尔当法求逆矩阵）

\begin{align}\begin{array}{c} {\left[\begin{array}{l:l} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{E} \end{array}\right] \xrightarrow{\text { 初等行变换 }}\left[\boldsymbol{E}: \boldsymbol{A}^{-1}\right]} \\ {\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{E} \end{array}\right] \xrightarrow{\text { 初等列变换 }}\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{A}^{-1} \end{array}\right] } \end{array}\end{align}

对角矩阵

若nn阶方阵如下：

\begin{align}\Lambda_{n}=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&...&0\\0&\lambda_2&...&0\\...&...&&...\\ 0&0&...&\lambda_n\end{pmatrix}\end{align}

对角线以外的元素都是0，这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，也记作：

\begin{align}\Lambda_{n}=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)\end{align}

单位矩阵

特别的，如果对角线上的元素全为1，也就是λ1=λ2=⋯=λn=1\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_n=1：

\begin{align}I_n=\begin{pmatrix}1&0&...&0\\0&1&...&0\\...&...&&...\\ 0&0&...&1\end{pmatrix}\end{align}

该对角阵称为nn阶单位矩阵，或者简称为单位阵。在国内教材中，单位阵一般用E\boldsymbol{E}表示。

例题

解题思路：大体流程先变成右上三角行列式，然后逐步变成对角矩阵，最后变成nn阶单位矩阵

设A=[02−1112−1−1−1]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right]，求A−1\boldsymbol{A}^{-1}

注 ：括号的内容表示行

\begin{align}\begin{array}{l} {\left[\begin{array}{ccc:ccc} 0 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{(1) \leftrightarrow(2)}\left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]} \\ \xrightarrow{(3)+(1)}\left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow[(2)+(3)]{(1)-2(3)}\left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \\ \xrightarrow{\frac{1}{2}(2)}\left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 1 & 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \xrightarrow{(1)-(2)}\left[\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & -\frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \\ \end{array}\end{align}

所以

\begin{align}\boldsymbol{A}^{-1}=\begin{bmatrix} -\frac{ 1}{2} & -\frac{ 3}{2} &-\frac{ 5}{2} \\ \frac{ 1}{2} & \frac{ 1}{2} &\frac{ 1}{2} \\ 0 & 1 &1 \end{bmatrix}\end{align}

设A\boldsymbol{A}是3阶可逆矩阵，将A\boldsymbol{A}的第1行和第2行互换后得到矩阵B\boldsymbol{B}，其中A−1=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{lll}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right]，则B\boldsymbol{B}可逆，且B−1\boldsymbol{B}^{-1}等于多少？

因B=E12A\boldsymbol{B}=\boldsymbol{E}_{12}\boldsymbol{A}，其中E12=[010100001]\boldsymbol{E}_{12}=\left[\begin{array}{lll}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{array}\right]，故

\begin{align}\boldsymbol{B}^{-1}=\left(\boldsymbol{E}_{12}\boldsymbol{A}\right)^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{E}_{12}^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{E}_{12}=\left[\begin{array}{ccc}a_{12}&a_{11}&a_{13}\\a_{22}&a_{21}&a_{23}\\a_{32}&a_{31}&a_{33}\end{array}\right]\end{align}

分块矩阵

对于行数和列数较多的矩阵A\boldsymbol{A}，运算时常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。具体操作就是像下面这样，将矩阵A\boldsymbol{A}用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A\boldsymbol{A}的子块：

\begin{align}A=\left( {\begin{array}{c|c} \overbrace{ \begin{matrix} a_{11}&\cdots&a_{1r}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{s1}&\cdots&a_{sr}\\ \end{matrix}}^{\Large 子块A_{11}} &\overbrace{ \begin{matrix} a_{1(r+1)}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{s(r+1)}&\cdots&a_{sn}\\ \end{matrix}}^{\Large 子块A_{12}}\\ \hline \underbrace{ \begin{matrix} a_{(s+1)1}&\cdots&a_{(s+1)r}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{m1}&\cdots&a_{mr}\\ \end{matrix}}_{\Large 子块A_{21}} &\underbrace{ \begin{matrix} a_{(s+1)(r+1)}&\cdots&a_{(s+1)n}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{m(r+1)}&\cdots&a_{mn}\\ \end{matrix}}_{\Large 子块A_{22}} \end{array}} \right)\end{align}

因此A\boldsymbol{A}可以如下改写，其中每个元素都是子块（矩阵)：

\begin{align}A=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}\end{align}

改写后，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。

基础运算方式

加法

设A\boldsymbol{A}与B\boldsymbol{B}的行数、列数都相同，并且采用相同的分块法：

\begin{align}A=\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots&A_{1r}\\\vdots&&\vdots\\ A_{s1}&\cdots&A_{sr}\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}B_{11}&\cdots&B_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\B_{s1}&\cdots&B_{sr}\end{pmatrix}\end{align}

它们相加的结果为：

\begin{align}A+B=\begin{pmatrix}A_{11}+B_{11}&\cdots&A_{1r}+B_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\A_{s1}+B_{s1}&\cdots&A_{sr}+B_{sr} \end{pmatrix}\end{align}

数乘

设A=(A11⋯A1r⋮⋮As1⋯Asr)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots&A_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\A_{s1}&\cdots&A_{sr}\end{pmatrix}，那么：λA=(λA11⋯λA1r⋮⋮λAs1⋯λAsr),λ∈R\lambda \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\lambda A_{11}&\cdots&\lambda A_{1r}\\\vdots&&\vdots\\\lambda A_{s1}&\cdots&\lambda A_{sr}\end{pmatrix},\lambda\in\mathbb{R}

乘法

设A\boldsymbol{A}为m×lm\times l矩阵，B\boldsymbol{B}为l×nl\times n矩阵，分块成:

\begin{align}A=\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots&A_{1t}\\ \vdots&&\vdots\\A_{s1}&\cdots&A_{st}\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}B_{11}&\cdots&B_{1r}\\\vdots&&\vdots\\ B_{t1}&\cdots&B_{tr}\end{pmatrix}\end{align}

其中Ai1A_{i1}、Ai2A_{i2}、⋯\cdots、AitA_{it}的列数分别等于B1jB_{1j}、B2jB_{2j}、⋯\cdots、BtjB_{tj}的行数，也就是都符合矩阵乘法的合法性，那么这两个分块矩阵的乘法结果为：

\begin{align}AB=\begin{pmatrix}C_{11}&\cdots&C_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\C_{s1}&\cdots&C_{sr}\end{pmatrix}\end{align}

计算CijC_{ij}的方法和矩阵乘法的点积观点一样：

\begin{align}C_{ij}=\sum_{k=1}^{t}A_{ik}B_{kj} \quad(i=1,\cdots,s;j=1,\cdots,r)\end{align}

分块矩阵的转置

下面是分块矩阵A\boldsymbol{A}以及它的转置：

\begin{align}A=\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots&A_{1r}\\ \vdots&&\vdots\\A_{s1}&\cdots&A_{sr}\end{pmatrix},\quad A^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}A_{11}^\mathrm{T}&\cdots&A_{s1}^\mathrm{T}\\ \vdots&&\vdots\\A_{1r}^\mathrm{T}&\cdots&A_{sr}^\mathrm{T}\end{pmatrix}\end{align}

分块矩阵的逆

A=[001−100001−10000113000−12000]\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]，求A−1\boldsymbol{A}^{-1}

将A\boldsymbol{A}分块如下，可以记作[OBCO]\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{O} \end{array}\right]

\begin{align}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc:ccc} 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hdashline 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] =\left[\begin{array}{ll} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{C} & \boldsymbol{O} \end{array}\right]\end{align}

其中

\begin{align}\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{array}\right]\end{align}

因

\begin{align}\boldsymbol{B}^{-1}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad \boldsymbol{C}^{-1}=\left[\begin{array}{cc} \frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \end{array}\right]\end{align}

故

\begin{align}\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{O} & \boldsymbol{C}^{-1} \\ \boldsymbol{B}^{-1} & \boldsymbol{O} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]\end{align}

【注】副对角线分块矩阵的逆，可推广如下

\begin{align}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll} & & & \boldsymbol{A}_{1} \\ & & \boldsymbol{A}_{2} & \\ & \cdots & & \\ \boldsymbol{A}_{s} & & & \end{array}\right]\end{align}

其中Ai(i=1,2,⋯ ,s)\boldsymbol{A}_{i}(i=1,2, \cdots, s)可逆，则A\boldsymbol{A}可逆，且

\begin{align}\boldsymbol{A}^{-1}=\left[\begin{array}{llll} & & & \boldsymbol{A}_{s}^{-1} \\ & & \therefore & \\ & \boldsymbol{A}_{2}^{-1} & & \\ \boldsymbol{A}_{1}^{-1} & & & \end{array}\right]\end{align}