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看本篇内容之前，先看下这个视频，对理解帮助很大

列空间

矩阵A\boldsymbol{A}的列向量为：

\begin{align}\boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} {\color{green}{a_{11}}}&{\color{blue}{a_{12}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{1n}}}\\ {\color{green}{a_{21}}}&{\color{blue}{a_{22}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{2n}}}\\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ {\color{green}{a_{m1}}}&{\color{blue}{a_{m2}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{mn}}} \end{pmatrix} =({\color{green}{\boldsymbol{c_1}}},{\color{blue}{\boldsymbol{c_2}}},\cdots,{\color{purple}{\boldsymbol{c_n}}})\end{align}

包含所有列向量的向量组称为列向量组，即：

列向量组：{c1,c2,⋯ ,cn}\{\boldsymbol{c_1},\boldsymbol{c_2},\cdots,\boldsymbol{c_n}\}

列向量组的张成空间称为列空间，记作colsp(A)colsp(\boldsymbol{A})，即：

\begin{align}\begin{aligned} colsp(\boldsymbol{A}) &=span(\{\boldsymbol{c_1},\boldsymbol{c_2},\cdots,\boldsymbol{c_n}\})\\ &=x_1\boldsymbol{c_1}+x_2\boldsymbol{c_2}+\cdots+x_n\boldsymbol{c_n},\quad x_{1,2,\cdots,n}\in\mathbb{R} \end{aligned}\end{align}

列向量组的秩，也就是列空间的维度，称为列秩，即：

\begin{align}列秩=rank(colsp(\boldsymbol{A}))\end{align}

如果列向量组线性无关，就称为列满秩。

比如说矩阵A=(−12021−2)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&2\\1&-2\end{pmatrix}，它的列向量为：

\begin{align}\boldsymbol{c_1}=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{c_2}=\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}\end{align}

列向量组{c1,c2}\{\boldsymbol{c_1},\boldsymbol{c_2}\}的张成空间为R3\mathbb{R}^3中的一个平面，也就是说矩阵A\boldsymbol{A}的列秩为2：

2

因为列向量组{c1,c2}\{\boldsymbol{c_1},\boldsymbol{c_2}\}线性无关，所以矩阵A\boldsymbol{A}是列满秩的。

行空间

矩阵A\boldsymbol{A}的行向量为：

\begin{align}\boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} {\color{green}{a_{11}}}&{\color{green}{a_{12}}}&\cdots&{\color{green}{a_{1n}}}\\ {\color{blue}{a_{21}}}&{\color{blue}{a_{22}}}&\cdots&{\color{blue}{a_{2n}}}\\ \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\ {\color{purple}{a_{m1}}}&{\color{purple}{a_{m2}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{mn}}} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}{\color{green}{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T}}}\\{\color{blue}{\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T}}}\\\vdots\\{\color{purple}{\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}}}\end{pmatrix}\end{align}

包含所有行向量的向量组称为行向量组，即：

行向量组：{r1T,r2T,⋯ ,rmT}\{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\cdots,\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}\}

行向量组的张成空间称为行空间，记作rowsp(A)rowsp(\boldsymbol{A})，即：

\begin{align}\begin{aligned} rowsp(\boldsymbol{A}) &=span(\{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\cdots,\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}\})\\ &=x_1\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T}+x_2\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T}+\cdots+x_m\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T},\quad x_{1,2,\cdots,m}\in\mathbb{R} \end{aligned}\end{align}

行向量组的秩，也就是行空间的维度，称为行秩，即：

\begin{align}行秩=rank(rowsp(A))\end{align}

如果行向量组线性无关，就称为行满秩。

还是刚才的矩阵A=(−12021−2)\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&2\\1&-2\end{pmatrix}，它的行向量为：

\begin{align}\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}-1&2\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}0&2\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{r_3}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}1&-2\end{pmatrix}\end{align}

行向量组{r1T,r2T,r3T}\{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_3}^\mathrm{T}\}的张成空间为R2\mathbb{R}^2，也就是说矩阵AA的行秩为2：

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因为行向量组{r1T,r2T,r3T}\{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_3}^\mathrm{T}\}线性相关，所以矩阵A\boldsymbol{A}不是行满秩的。

秩的几何意义

不论矩阵AA的自然定义域的维度是多少（当然要保证定义域 ≥ 值域），只要它的秩，也就是rank(A)=2rank(A)=2，那么值域的维度都是2：

2

秩的直观理解

根据秩的几何意义可知，对于相同的自然定义域，如果rank(A)rank(\boldsymbol{A})越小，那么值域的维度就越小。比如：

\begin{align}\begin{array}{c|c|c} \hline \quad \text{自然定义域}\quad&\quad \text{秩}\quad&\quad \text{值域维度}\quad \\ \hline \quad \mathbb{R}^2\quad&\quad\begin{aligned}rank(\boldsymbol{A})=2\\rank(\boldsymbol{A})=1\\ rank(\boldsymbol{A})=0\end{aligned}\quad&\quad\begin{aligned}\text{2 维}\\\text{1 维}\\\text{0 维}\end{aligned}\quad\\ \hline \end{array}\end{align}

2

据此，可以将矩阵AA看作一个筛子，rank(A)rank(A)就是筛眼的大小。筛眼（rank(A)rank(A)）越大，漏下去（输出)的也就越大：

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如何判断一个矩阵的秩为多少

把矩阵做初等变换后可以看下图进行辨别

满秩矩阵

如果某个矩阵，既是列满秩，又是行满秩，那么就称该矩阵为满秩矩阵，或者简称为满秩。满秩矩阵必为方阵。

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假设AA为m×nm\times n的矩阵，且是满秩矩阵。因为列满秩，那么列秩=nn；又因为行满秩，那么行秩=mm；然后因为行秩=列秩，所以必然m=nm=n，所以满秩矩阵AA必为方阵。

比如下面这个单位阵，容易验证既是列满秩，也是行满秩，所以是满秩矩阵：

\begin{align}I=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\end{align}

可证明所有初等行矩阵都是满秩矩阵，比如下面的这个完成倍加变换的初等行矩阵是满秩矩阵：

\begin{align}\begin{pmatrix}1&k&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\end{align}

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根据初等行矩阵的定义，它们都是在单位阵上应用初等行变换得到的。

​ （1）首先假设有nn阶单位阵InI_n，它的行向量组其实就是自然基：

\begin{align}\{\boldsymbol{e_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{e_2}^\mathrm{T},\cdots,\boldsymbol{e_n}^\mathrm{T}\}\end{align}

因此是线性无关的，因此单位阵是满秩矩阵。下面只需要证明初等行变换后得到的行向量组依然线性无关，就可以得出初等行矩阵是满秩的结论。

​ （2）倍加变换。不妨假设是第二行的ss倍加到第一行上，因此得到的向量组为：

\begin{align}\{\boldsymbol{e_1}^\mathrm{T}+s\boldsymbol{e_2}^\mathrm{T},\boldsymbol{e_2}^\mathrm{T},\cdots,\boldsymbol{e_n}^\mathrm{T}\}\end{align}

假设该向量组线性相关，那么一定有不全为零的实数k1k_1、k2k_2、⋯\cdots、knk_n使得：

\begin{align}k_1(\boldsymbol{e_1}^\mathrm{T}+s\boldsymbol{e_2}^\mathrm{T})+k_2\boldsymbol{e_2}^\mathrm{T}+\cdots+k_n\boldsymbol{e_n}^\mathrm{T}=0\end{align}

不妨假设k1≠0k_1\ne0，移项整理后可得：

\begin{align}\boldsymbol{e_1}^\mathrm{T}=-\frac{(k_2+k_1s)\boldsymbol{e_2}^\mathrm{T}+\cdots+k_n\boldsymbol{e_n}^\mathrm{T}}{k_1}\end{align}

也就是说e1T\boldsymbol{e_1}^\mathrm{T}可由剩下的行向量线性表出，这与行向量组{e1T,e2T,⋯ ,enT}\{\boldsymbol{e_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{e_2}^\mathrm{T},\cdots,\boldsymbol{e_n}^\mathrm{T}\}线性无关相矛盾，因此行向量组{e1T+se2T,e2T,⋯ ,enT}\{\boldsymbol{e_1}^\mathrm{T}+s\boldsymbol{e_2}^\mathrm{T},\boldsymbol{e_2}^\mathrm{T},\cdots,\boldsymbol{e_n}^\mathrm{T}\}也是线性无关的，因此倍加变换后得到的行初等矩阵依然是满秩矩阵。

​ （3）同样的道理，倍乘变换和对换变换得到的行初等矩阵也是满秩矩阵。因此，所有行初等矩阵都是满秩矩阵。

秩的性质

秩有如下重要性质：

  • 秩的取值范围：

    \begin{align}0\le rank(A_{m\times n})\le\min(m,n)\end{align}

  • 转置矩阵的秩：

    \begin{align}rank(A)=rank(A^\mathrm{T})\end{align}

  • 复合函数的秩：

    \begin{align}rank(AB)\leq\min\Big(rank(A),rank(B)\Big)\end{align}

  • 满秩矩阵复合的秩。假设PP、QQ为满秩矩阵，那么：

    \begin{align}rank(PA)=rank(AQ)=rank(PAQ)=rank(A)\end{align}

  • 矩阵相加的秩。假设AA、BB为同型矩阵，那么：

    \begin{align}rank(A+B)\le rank(A)+rank(B)\end{align}

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​ （1）前面两个证明都非常简单，同学们可以自己尝试下。三四证明比较复杂，在课程中进行了详细解释，这里不再重复。

​ （2）证明矩阵相加的秩。因为秩就是列秩，也就是列空间的维度。假设AA的列向量组为aa，BB的列向量组为bb：

\begin{align}a:\{\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{a_2},\cdots,\boldsymbol{a_k}\},\quad b:\{\boldsymbol{b_1},\boldsymbol{b_2},\cdots,\boldsymbol{b_k}\}\end{align}

各自的列空间分别由aa、bb张成：

\begin{align}colsp(A)=m_1\boldsymbol{a_1}+m_2\boldsymbol{a_2}+\cdots+m_k\boldsymbol{a_k},\quad m_{1,2,\cdots,k}\in\mathbb{R}\\colsp(B)=n_1\boldsymbol{b_1}+n_2\boldsymbol{b_2}+\cdots+n_k\boldsymbol{b_k},\quad n_{1,2,\cdots,k}\in\mathbb{R}\end{align}

而A+BA+B的列空间为：

\begin{align}colsp(A+B)=p_1(\boldsymbol{a_1}+\boldsymbol{b_1})+p_2(\boldsymbol{a_2}+\boldsymbol{b_2})+\cdots+p_k(\boldsymbol{a_k}+\boldsymbol{b_k}),\quad p_{1,2,\cdots,k}\in\mathbb{R}\end{align}

很显然有：

\begin{align}colsp(A+B)\subseteq colsp(A)+colsp(B)\end{align}

所以：

\begin{align}rank(A+B)\le rank(A)+rank(B)\end{align}

下面对其中两个性质进行下直观地解释。

复合函数的秩的直观

如果用筛子的眼来理解矩阵的秩，AA、BB可以看作两个筛子：

1

忽略掉厚度，可以有网格两个圆来表示这两个筛子，可以看到各自的筛眼大小不同，也就是各自的矩阵的秩不相同：

2

当这两个筛子叠在一起的时候，叠加部分的筛眼变小了，比单独某一个筛子的筛眼要小：

2

所以此时有：

\begin{align}rank(AB) < \min\Big(rank(A),rank(B)\Big)\end{align}

当然还有可能AA、BB如下：

2

这时叠在一起时，叠加部分的筛眼等于其中某一个筛子的筛眼：

2

所以此时有；

\begin{align}rank(AB) = \min\Big(rank(A),rank(B)\Big)\end{align}

综合起来就是：

\begin{align}rank(AB)\leq\min\Big(rank(A),rank(B)\Big)\end{align}

满秩矩阵复合的秩的直观

下面给出该性质的直观解释。满秩矩阵PP可以看作完全没有筛眼的筛子：

2

这样两者复合，筛眼大小就完全取决于AA：

2

所以可得到满秩矩阵复合的性质：

\begin{align}rank(PA)=rank(A)\end{align}

初等行变换求秩

行阶梯形矩阵的秩就是非零行的个数，比如：

秩 = 3

秩 = 2

所以如果在不改变秩的前提下，可将矩阵转为行阶梯形矩阵，那么就可以求出该矩阵的秩。这是可以做到的：

任何非零矩阵A\boldsymbol{A}总可以经过有限次初等行变换把它变换为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。因为初等行变换可以通过初等行矩阵Ei\boldsymbol{E}_i来实现，所以上述过程可以表示为：

\begin{align}\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{E}_2...\boldsymbol{E}_n\boldsymbol{A}=行阶梯形矩阵(行最简形矩阵)\end{align}

通过变换得到的为行阶梯形矩阵不具有唯一性，但行最简形矩阵是唯一的。且有：

\begin{align}rank(\boldsymbol{A})=rank(\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{E}_2...\boldsymbol{E}_n\boldsymbol{A})=rank\Big(行阶梯形矩阵（行最简形矩阵）\Big)\end{align}

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下面是证明的思路（具体证明略）：

​ （1）假如矩阵Am×nA_{m\times n}的第一行第一列为非零元素，那么可以通过倍加变换将除自己之外的一列都变为0。

​ （2）假如矩阵Am×nA_{m\times n}的第一行第一列为零元素，那么通过对换变换看能不能把某第一列不为零元素的行换到第一行，然后执行（1)中的操作。

​ （3）如果无法使得第一行第一列为非零元素，这说明第一列全为0，那么就跳过该列，看第一行第二列是否可以进行（1）（2）的操作。

​ （4）假设除了第一行外，其余行的第一列都变为了零元素，那么就看第二行第二列，重复（1）（2）（3）的操作，最终可以得到行阶梯形矩阵。

​ （5）在行阶梯形矩阵的基础上，对每一列进行倍乘变换，使得主元都为1，这样就得到了行最简形矩阵。

因为初等行变换可以通过初等行矩阵Ei\boldsymbol{E}_i来实现，所以上述过程也可以表示为：

\begin{align}\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{E}_2...\boldsymbol{E}_n\boldsymbol{A}=行阶梯形矩阵（行最简形矩阵）\end{align}

由于初等行矩阵Ei\boldsymbol{E}_i是满秩矩阵，根据满秩矩阵的复合rank(PA)=rank(A)rank(\boldsymbol{P}\boldsymbol{A})=rank(\boldsymbol{A})有：

\begin{align}rank(\boldsymbol{A})=rank(\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{E}_2...\boldsymbol{E}_n\boldsymbol{A})=rank\Big(行阶梯形矩阵（行最简形矩阵）\Big)\end{align}

行最简形矩阵的唯一性证明较复杂，这里略过。可以将它理解为所有初等行变换的终点，也就是说不管怎么选择初等行变换的顺序，最后都可以得到相同的行最简形矩阵。

举个简单的例子，比如矩阵(123123125)\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&5\end{pmatrix}通过一系列的初等行变换（乘上一系列的初等行矩阵)：

\begin{align}\begin{aligned} \begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&5\end{pmatrix} &\xrightarrow[\color{red}{\text{倍加}}]{\quad\boldsymbol{r}_2’=-\boldsymbol{r}_1+\boldsymbol{r}_2\quad}\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\1&2&5\end{pmatrix}\\\\ &\xrightarrow[\color{red}{\text{对换}}]{\quad\boldsymbol{r}_2\leftrightarrow r_3\quad}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&0\\1&2&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&5\\0&0&0\end{pmatrix}\\\\ &\xrightarrow[\color{red}{\text{倍加}}]{\quad\boldsymbol{r}_2’=-\boldsymbol{r}_1+\boldsymbol{r}_2\quad}\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&5\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}\\\\ &\xrightarrow[\color{red}{\text{倍乘}}]{\quad\boldsymbol{r}_2’=\frac{1}{2}\boldsymbol{r}_2\quad}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\displaystyle\frac{1}{2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\\\\ &\xrightarrow[\color{red}{\text{倍加}}]{\quad\boldsymbol{r}_1’=\boldsymbol{r}_1-3\boldsymbol{r}_2\quad}\begin{pmatrix}1&-3&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\\\\ \end{aligned}\end{align}

就变换为了行阶梯形矩阵和行最简形矩阵：

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且有：

\begin{align}rank\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&5\end{pmatrix}=rank\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&2\\0&0&0\end{pmatrix}=rank\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}=2\end{align}

所以求矩阵A\boldsymbol{A}的秩的方法就是：

\begin{align}\boldsymbol{A}\xrightarrow{\quad有限次初等行变换\quad}行阶梯矩阵\boldsymbol{M}\xrightarrow{}rank(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{M}的非零行个数\end{align}

初等列变换

在列上进行如下表中的三种变换，称为初等列变换。在单位阵上应用这三种初等列变换一次得到的矩阵称为初等列矩阵，也就是下列表格中最右的矩阵：

\begin{align}\begin{array}{c|c|c} \hline \quad 初等列变换\quad &\quad 操作\quad &\quad 初等列矩阵\quad\\ \hline \\ \quad \color{SkyBlue}{倍加变换}\quad &\quad \boldsymbol{c_1}'=\boldsymbol{c_1}+k\boldsymbol{c_2}\quad &\quad \begin{pmatrix}1&0&0\\{\color{red}{k}}&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\quad \\ \\ \hline \\ \quad \color{Goldenrod}{倍乘变换}\quad &\quad \boldsymbol{c_1}'=k\boldsymbol{c_1} (k\neq 0)\quad & \quad \begin{pmatrix}{\color{red}{k}}&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\quad \\ \\ \hline \\ \quad \color{orange}{对换变换}\quad &\quad \boldsymbol{c_1}\leftrightarrow \boldsymbol{c_2}\quad & \quad \begin{pmatrix}{\color{red}{0}}&{\color{red}{1}}&0\\ {\color{red}{1}}&{\color{red}{0}}&0\\{\color{red}{0}}&{\color{red}{0}}&1\end{pmatrix}\quad \\ \\ \hline \end{array}\end{align}

初等列矩阵乘上矩阵AA，就相当于在矩阵AA上实施了对应的初等列变换。比如将单位矩阵的一、二列进行对换就得到了该初等列操作对应的初等列矩阵。再将该初等列矩阵乘上矩阵AA，就相当于将矩阵AA的一、二列进行了对换：

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标准形

在行最简形矩阵的基础上，再执行若干次初等列变换，就可以得到形式更简单的矩阵，比如：

\begin{align}\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\xrightarrow[\color{red}{\text{倍加}}]{\quad \boldsymbol{c}_2'=-2\boldsymbol{c}_1+\boldsymbol{c}_2\quad}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\xrightarrow[\color{red}{\text{对换}}]{\quad \boldsymbol{c}_2\leftrightarrow \boldsymbol{c}_3\quad}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\end{align}

该矩阵的特点是左上角是单位阵，其余位置都是0，这种矩阵被称为标准形矩阵：

\begin{align}\left( \begin{matrix} \left(\begin{aligned}1\ \ \ 0\\0\ \ \ 1\end{aligned}\right)&\begin{aligned}0\\0\end{aligned}\\ 0\ \ \ 0& 0 \end{matrix} \right)\end{align}

上述操作可以总结为（证明略）：

任何行最简形矩阵A\boldsymbol{A}总可以经过有限次初等列变换把它变换为标准形矩阵。因为初等列变换可以通过初等列矩阵Ei\boldsymbol{E}_i来实现，所以上述过程可以表示为：

\begin{align}\boldsymbol{A}\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{E}_2...\boldsymbol{E}_n=标准形矩阵\end{align}

得到的标准形矩阵是唯一的，且有：

\begin{align}rank(\boldsymbol{A})=rank(\boldsymbol{A}\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{E}_2...\boldsymbol{E}_n)=rank(标准形矩阵)\end{align}

自然定义域下矩阵函数的值域

在一般情况下，列向量矩阵函数的值域为AxA\boldsymbol{x}，以及行向量矩阵函数的值域为xTA\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A。而在自然定义域下，矩阵函数的值域分别是列空间和行空间。

列向量矩阵函数的值域

在自然定义域下，列向量矩阵函数Ax=yA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}的值域为列空间，即

\begin{align}值域=colsp(A)\end{align}

假设AA为m×nm\times n的矩阵，那么在自然定义域下，Ax=yA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}的四要素为：

\begin{align}\begin{array}{c|c|c|c} \hline \quad 自然定义域\quad&\quad 映射法则 \quad&\quad 值域 \quad&\quad 到达域 \quad\\\hline\\ \quad \mathbb{R}^n \quad&\quad A \quad&\quad colsp(A) \quad&\quad \mathbb{R}^m \quad\\ \\ \hline \end{array}\end{align}

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假设AA为m×nm\times n的矩阵，根据矩阵函数的四要素可知，列向量矩阵函数Ax=yA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}的自然定义域为Rn\mathbb{R}^n，自然定义域中的任意向量x\boldsymbol{x}可以由自然基来表示：

\begin{align}\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{e}_1+x_1\boldsymbol{e}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{e}_n,\quad x_{1,2,\cdots,n}\in\mathbb{R}\end{align}

假设AA的列向量为c1\boldsymbol{c}_1、c2\boldsymbol{c_2}、⋯\cdots、cn\boldsymbol{c_n}:

\begin{align}A=\begin{pmatrix}\boldsymbol{c}_1&\boldsymbol{c}_2&\cdots&\boldsymbol{c}_n\end{pmatrix}\end{align}

那么根据矩阵乘法列观点可知，列向量矩阵函数Ax=yA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}中的y\boldsymbol{y}为：

\begin{align}\boldsymbol{y}=x_1\boldsymbol{c}_1+x_2\boldsymbol{c}_2+\cdots+x_n\boldsymbol{c}_n,\quad x_{1,2,\cdots,n}\in\mathbb{R}\end{align}

这也就说明，值域y\boldsymbol{y}是由列向量组{c1,c2,⋯ ,cn}\{\boldsymbol{c}_1,\boldsymbol{c_2},\cdots,\boldsymbol{c_n}\}张成，即值域为列空间。

比如说矩阵A=(1−11211)A=\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\\1&1\end{pmatrix}，它的列向量为：

\begin{align}\boldsymbol{c_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{c_2}=\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}\end{align}

之前已经解释过了，在列向量矩阵函数Ax=yA\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}中，y\boldsymbol{y}是列向量的线性组合：

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所以，该矩阵函数的值域是列空间：

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行向量矩阵函数的值域

在自然定义域下，行向量矩阵函数数xTA=yT\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}的值域为行空间，即

\begin{align}值域=rowsp(A)\end{align}

假设AA为m×nm\times n的矩阵，那么在自然定义域下，xTA=yT\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}的四要素为：

\begin{align}\begin{array}{c|c|c|c} \hline \quad 自然定义域\quad&\quad 映射法则 \quad&\quad 值域 \quad&\quad 到达域 \quad\\\hline\\ \quad \mathbb{R}^m \quad&\quad A \quad&\quad rowsp(A) \quad&\quad \mathbb{R}^n \quad\\ \\ \hline \end{array}\end{align}

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假设AA为m×nm\times n的矩阵，根据矩阵函数的四要素可知，行向量矩阵函数xTA=yT\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}的自然定义域为Rm\mathbb{R}^m，自然定义域中的任意向量xT\boldsymbol{x}^\mathrm{T}可以由自然基来表示：

\begin{align}\boldsymbol{x}^\mathrm{T}=x_1\boldsymbol{e}_1^\mathrm{T}+x_1\boldsymbol{e}_2^\mathrm{T}+\cdots+x_m\boldsymbol{e}_m^\mathrm{T},\quad x_{1,2,\cdots,m}\in\mathbb{R}\end{align}

假设AA的列向量为r1T\boldsymbol{r}_1^\mathrm{T}、r2T\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T}、⋯\cdots、rmT\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}:

\begin{align}A=\begin{pmatrix}\boldsymbol{r}_1^\mathrm{T}\\\boldsymbol{r}_2^\mathrm{T}\\\vdots\\\boldsymbol{r}_m^\mathrm{T}\end{pmatrix}\end{align}

那么根据矩阵乘法行观点可知，行向量矩阵函数xTA=xT\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A=\boldsymbol{x}^\mathrm{T}中的yT\boldsymbol{y}^\mathrm{T}为：

\begin{align}\boldsymbol{y}^\mathrm{T}=x_1\boldsymbol{r}_1^\mathrm{T}+x_2\boldsymbol{r}_2^\mathrm{T}+\cdots+x_m\boldsymbol{r}_m^\mathrm{T},\quad x_{1,2,\cdots,m}\in\mathbb{R}\end{align}

这也就说明，值域yT\boldsymbol{y}^\mathrm{T}是由行向量组{r1T,r2T,⋯ ,rmT}\{\boldsymbol{r}_1^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\cdots,\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}\}张成，即值域为行空间。

比如说矩阵A=(1−11211)A=\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\\1&1\end{pmatrix}，它的行向量为：

\begin{align}\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}1&-1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{r_3}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}\end{align}

之前已经解释过了，在行向量矩阵函数xTA=yT\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}中，yT\boldsymbol{y}^\mathrm{T}是行向量的线性组合：

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所以，该矩阵函数的值域是行空间：

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